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PAGE \* MERGEFORMAT6 圆 一 一 圆的认识 知识点晴 知识点晴 1．圆的定义 OAr（1）在一个平面内，线段OA绕它的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心，线段 O A r （2）圆可以看作是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，定点为圆心，定长为圆的半径。 说明：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定，半径相等的两个圆为等圆。 2．圆的有关概念 （1）弦：连结圆上任意两点的线段。（如右图中的CD）。 BOA（2）直径：经过圆心的弦（如右图中的AB）。直径等于半径的2倍。 B O A DC（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧。（如右图中的、） D C 其中大于半圆的弧叫做优弧，如，小于半圆的弧叫做劣弧。 （4）圆心角：如右图中∠COD就是圆心角。 3．与圆相关的角 （1）与圆相关的角的定义 ①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 ②圆周角：顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 ③弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一连轴和圆相切的角叫做弦切角。 （2）与圆相关的角的性质 ①圆心角的度数等于它所对的弦的度数； ②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半； ③同弧或等弧所对的圆周角相等； ④半圆（或直径）所对的圆周角相等； ⑤弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角； ⑥两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等； ⑦圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 4．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。 （1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等。 （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 例题精讲 例题精讲 下面四个命题中正确的一个是（ ） A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 　 B．过弦的中点的直线必过圆心 　 C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 　 D．弦的垂线平分弦所对的弧 【答案】C 二 二 与圆有关的位置关系 知识点晴 知识点晴 1．点与圆的位置关系 如果圆的半径为r，某一点到圆心的距离为d，那么： （1）点在圆外 （2）点在圆上 （3）点在圆内 2．直线和圆的位置关系 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离 （1）直线和圆相离，直线与圆没有交点； （2）直线和圆相切，直线与圆有唯一交点； （3）直线和圆相交，直线与圆有两个交点。 3．两圆的位置关系 设R、r为两圆的半径，d为圆心距 （1）两圆外离； （2）两圆外切； （3）两圆相交； （4）两圆内切； （5）两圆内含。（注意：如果为，则两圆为同心圆。） 4. 切线的性质与判定定理 （1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵且过半径外端 ∴是⊙的切线 （2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。 5. 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 即：∵、是的两条切线 ∴ 平分 例题精讲 例题精讲 已知⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，若关于x的方程x2－2x＋d=0有实根，则点P( )． A．在⊙O的内部 B．在⊙O的外部 C．在⊙O上 D．在⊙O上或⊙O的内部 【答案】D 已知：如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点．求证：OP垂直平分线段AB． 【答案】略 已知：如图，PA切⊙O于A点，PO∥AC，BC是⊙O的直径．请问：直线PB是否与⊙O相切?说明你的理由． 【答案】直线PB与⊙O相切．提示：连结OA，证ΔPAO≌ΔPBO 【例5】已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于A点，直线l与⊙O1、⊙O2分别切于B，C点，若⊙O1的半径r1=2cm，⊙O2的半径r2=3cm．求BC的长． 【答案】．提示：分别连结O1B，O1O2，O2C． 【例6】如图，点A，B在直线MN上，AB=11cm，⊙A，⊙B的半径均为1cm．⊙A以每秒2cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙B的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(s)之间的关系式为r=1＋t(t≥0)． (1)试写出点A，B之间的距离d(cm)与时间t(s)之间的函数表达式； (2)问点A出发多少秒时两圆相切? 【答案】(1)当0≤t≤5.5时，d＝11－2t； 当t5.5时，d＝2t－11．