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求曲线轨迹方程的五种方法
求曲线轨迹方程的五种方法
直接法
如果题目中的条件有明显的等量关系,或者可以利用平面几何知识推出等量关系,求方程时可用直接法。
例1 长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动,求AB中点P的轨迹方程。
解:设点P的坐标为(x,y),
则A(2x,0),B(0,2y),由|AB|=2a得
=2a
化简得x2+y2=a,即为所求轨迹方程
点评:本题中存在几何等式|AB|=2a,故可用直接法解之。
定义法
如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可用曲线定义写出方程,这种方法称为定义法。
例2 动点P到直线x+4=0的距离减去它到M(2,0)的距离之差等于2,则点P的轨迹是( )
直线 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
解法一:由题意,动点P到点M(2,0)的距离等于这点到直线x=-2的距离,因此动点P的轨迹是抛物线,故选D。
解法二:设P点坐标为(x,y),则
|x+4|-=2
当x≥-4时,x+4-=2化简得
当时,y2=8x
当x<-4时,-x-4-=2无解
所以P点轨迹是抛物线y2=8x
点评:解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程,明显,解法一优于后一种解法,对于有些求轨迹方程的题目,若能采用定义法,则优先采用定义法,它能大量地简化计算。
代入法
如果轨迹点P(x,y)依赖于另一动点Q(a,b),而Q(a,b)又在某已知曲线上,则可先列出关于x、y、a、b的方程组,利用x、y表示出a、b,把a、b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程,此法称为代入法。
例3 P在以F1、F2为焦点的双曲线上运动,则△F1F2P的重心G的轨迹方程是 。
解:设P(x0,y0),G(x,y),则有
即,代入
得
即
由于G不在F1F2上,所以y≠
参数法
如果轨迹动点P(x,y)的坐标之间的关系不易找到,也没有相关的点可用时,可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示,消去参数得轨迹方程,此法称为参数法。
例4 已知点M在圆13x2+13y2-15x-36y=0上,点N在射线OM上,且满足|OM|·|ON|=12,求动点N的轨迹方程。
分析:点N在射线OM上,而同一条以坐标原点为端点的射线上两点坐标的关系为(x,y)与(kx,ky)(k>0),故采用参数法求轨迹方程。
解:设N(x,y),则M(kx,ky),k>0
由|OM|·|ON|=12得
·=12
∴k(x2+y2)=12,又点M在已知圆上,
∴13k2x2+13k2y2-15kx-36ky=0
由上述两式消去x2+y2得
5x+12y-52=0
点评:用参数法求轨迹,设参尽量要少,消参较易。
交轨法
若动点是两曲线的交点,可以通过这两曲线的方程直接求出交点方程,此法称为交轨法。
例5 已知A1A是椭圆(a>b>0)的长轴,CD是垂直于A1A的椭圆的弦,求直线A1
解:设P(x,y),C(x0,y0),D(x0,-y0),(y0≠0)
∵A1(-a,0),A(a,0),由A1、C、P共线及A、D、P共线得
两式相乘并由,消去x0,y0,得,所求轨迹方程为(y≠0)
点评:交轨法的难点是消参,如何巧妙地消参是我们研究的问题。
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