电子科技大学-随机过程-覃思义-第五章sjgc5.3.pptVIP

电子科技大学 证明 由正态随机变量性质 电子科技大学 与t 无关，故Z(t)是平稳过程，且 根据定理5.3.1的推论3 知， 电子科技大学 五、各态历经性的应用 对于具有各态历经性的平稳过程, 可以通过一条样本函数来推断过程的统计特征. 如{X(t), t∈[0,+ ∞)}的均值各态历经, 则有 电子科技大学 t0=0 tN=T [ ] t1 t2 tN－1 电子科技大学 因均方收敛必依概率收敛， 电子科技大学 对一次抽样得到的样本函数 x(t), t∈ [0, + ∞], 取足够大的T 及N, 电子科技大学 0 Δ 2Δ nΔ x1 x2 xn 类似地，可得RX(t) 的近似估计量为 工程实际中有许多随机过程满足各态历经性，数学验证往往很困难. 电子科技大学 或先假定它的各态历经性, 对数据进行统计分析, 检验否合乎实际, 否则修改假定,另做分析. 可以根据工程背景来确定. 思考题： 1）时间平均、时间相关函数与统计平均、统计相关函数概念有什么本质区别？又有什么联系？ 电子科技大学 2）均值的遍历性与自相关函数的遍历性是否有必然的联系? 3）列举平稳过程遍历性的判断方法. 电子科技大学 §5.3 平稳过程的各态历经性 一、问题背景 1）在何种条件下, 可以依据平稳过程的一条现实建立有效描述过程的数学模型？ 2）实际问题中常需确定随机过程的数学期望和方差、相关函数； 如飞机在高空飞行，受湍流影响产生机翼震动，需考虑机翼振幅大小的均值与方差. 电子科技大学 电路中电子不规则运动引起的热噪声(电位的脉动).考虑脉动范围,噪声功率等归结为求过程的方差, 相关系数. 2）对实际动态数据进行零均值化, 如何从数据得到均值函数？ 3）困难在于需知道过程的一、二维分布. 4）设想用试验法解决. 电子科技大学 设想 研究平稳过程{X(t), t∈T}， X(t1,ω) X(t,ω1) X(t,ω2) X(t,ω3) t1 tn+τ X(tn+τ,ω) 进行足够多次的试验，得到样本函数族 电子科技大学 根据大数定律，对固定t1∈T，可令 缺点 1) 需要很大 n ,实际工程中难以实现. 统计平均 2) 过程具有不可重复性. 电子科技大学 Ex.1 下面的数据是某城市1991~1996年中每个季度的民用煤消耗量（单位：吨） 电子科技大学 民用煤消耗量数据散布图 年平均曲线 数据 曲线 电子科技大学 能否用一条样本函数去估计随机过程的数字特征？ 问题 即能否用时间轴上的均值 近似估计E{X(t)}、R(t)? 时间平均 ？ 过程满足一定条件时可行. 电子科技大学 二、平稳过程的各态历经性 定义5.3.1 设{X(t), t∈(－∞,+ ∞)}是平稳过程， 若均方极限 存在,称为X(t)在(－∞,+ ∞)上的时间平均. 二次均方极限 对于固定的τ，均方极限 二次均方极限 存在, 称为X( t )在(－∞,+ ∞)上的时间相关函数. 电子科技大学 注1 应保证{X(t),t∈R}在任意有限区间上均方可积.(均方连续是充分条件). 时间相关函数 是随机过程. 注2 时间平均 是随机变量, 参数为τ 平稳随机过程的均值函数是常数，相关函数R(τ)是普通函数. 电子科技大学 Ex.1 设X(t)=Y, t∈(－∞, + ∞), 且 D(Y )≠0, D(Y )+∞.计算X(t) 的时间平均和时间相关函数 解 X(t) 是平稳过程. 电子科技大学 Ex.2 设 a,ω0是实常数, Θ～U(0, 2π),计算X(t) 的时间平均和时间相关函数. {X(t),t∈(-∞,+ ∞)}是平稳过程. 解 电子科技大学 电子科技大学 定义5.3.2 设{X(t),t∈(－∞,+ ∞)}是平稳过程 称X(t)的均值具有各态历经性(均方遍历性). 称X(t)的相关函数具有各态历经性. 均值和相关函数都具有各态历经性的平稳过 程称为各态历经过程. 注 各态历经过程一定是平稳过程, 逆不真. 电子科技大学 一个随机过程具备各态历经性, 可以通过研究其一条 样本函数来获取过程的全部信息. 思想方法：用时间平均代替统计平均. 续Ex.1 设X(t)=Y, t∈(－∞, + ∞), 且 D(Y)≠0, D(Y)+∞,{X(t) 是平稳过程. X( t )的均值不具有各态历经性. 若Y非单点分布时, 电子科技大学 又因 X( t )的自相关函数也不具有各态历经性. 续Ex.2 设