2000考研数二真题与解析.doc

Born to win 2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上) (1) (2) 设函数由方程所确定，则 (3) (4) 曲线的斜渐近线方程为 (5) 设，为4阶单位矩阵，且则 . 二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数在内连续，且则常数满足 ( ) (A) (B) (C) (D) (2) 设函数满足关系式，且，则 ( ) (A)是的极大值. (B)是的极小值. (C)点是曲线的拐点. (D)不是的极值，点也不是曲线的拐点. (3 ) 设是大于零的可导函数，且则当 时，有 ( ) (A) (B) (C) (D) (4) 若，则为 ( ) (A)0. (B)6. (C)36. (D). (5) 具有特解的3阶常系数齐次线性微分方程是 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、(本题满分5分) 设，计算. 四、(本题满分5分) 设平面上有正方形及直线.若表示正方形位于直线左下方部分的面积，试求. 五、(本题满分5分) 求函数在处的阶导数. 六、(本题满分6分) 设函数， (1)当为正整数，且时，证明； (2)求. 七、(本题满分7分) 某湖泊的水量为，每年排入湖泊内含污染物的污水量为，流入湖泊内不含的水量为，流出湖泊的水量为，已知1999年底湖中的含量为，超过国家规定指标.为了治理污染，从2000年初起，限定排入湖泊中含污水的浓度不超过.问至多需要经过多少年，湖泊中污染物的含量降至以内(注：设湖水中的浓度是均匀的) 八、(本题满分6分) 设函数在上连续，且，试证明：在 内至少存在两个不同的点，使 九、(本题满分7分) 已知是周期为5的连续函数，它在的某个邻域内满足关系式 其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，求曲线在点处的切线方程. 十、(本题满分8分) 设曲线与交于点，过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面图形.问为何值时，该图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积最大？最大体积是多少？ 十一、(本题满分8分) 函数在上可导，且满足等式 (1)求导数； (2)证明：当时，成立不等式成立 十二、(本题满分6分) 设.其中是的转置， 求解方程 十三、(本题满7分) 已知向量组与向量组 具有相同的秩，且可由线性表出，求的值. 2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题 (1)【答案】 【详解】 (2)设函数由方程所确定，则 【答案】 【详解】 方法1：对方程两边求微分，有 由所给方程知，当时. 将，代入上式，有. 所以，. 方法2：两边对求导数，视为该方程确定的函数，有 当时，以此代入，得，所以. (3)【答案】 【详解】由于被积函数在处没有定义，则该积分为广义积分.对于广义积分，可以先按照不定积分计算，再对其求极限即可. 作积分变量替换，令 (4)【答案】 【公式】为的斜渐近线的计算公式： 【详解】 所以，方向有斜渐近线. 当时，类似地有斜渐近线. 总之，曲线的斜渐近线方程为. (5)【答案】 【详解】先求出然后带入数值，由于，所以 二、选择题 (1)【答案】D 【详解】排除法： 如果，则在内的分母必有零点，从而在处不连续，与题设不符.不选，若，则无论还是均有与题设矛盾，不选和.故选. (2)【答案】C 【定理应用】判断极值的第二充分条件：设函数在出具有二阶导数且，，那么：(1) 当时，函数在处取得极大值； (2)当时，函数在处取得极小值； 【详解】令等式中，得，无法利用判断极值的第二充分条件，故无法判断是否为极值或拐点. 再求导数(因为下式右边存在，所以左边也存在)： 以代入，有，所以 . 从而知，存在去心邻域，在此去心邻域内，与同号，于是推知在此去心邻域内当时曲线是凸的，在此去心临域内时曲线是凹的， 点是曲线的拐点，选(C). (3)【答案】A 【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数. 题设中已知 想到设函数为相除的形式. 【详解】 设，则 则在时单调递减，所以对，，即 得 ，为正确选项. (4)【答案】 【分析】本题有多种解法：(1)将含有的要求极限的表达式凑成已知极限的表达式，或反之；(2)利用极限与无穷小的关系，从已知极限中解出代入要求极限式中；(3)将具体函数用佩亚诺余项泰勒公式展开化