函数奇偶性知识总结及练习题.docVIP

函数的奇偶性 中山七 欧阳志平 【教学目标】 知识目标 1、深刻理解奇偶性的定义及图象特征； 2、掌握判定和证明奇偶性的方法； 3、学会利用函数的奇偶性解决问题 二、能力目标 培养学生的观察、分析、归纳、概括和综合分析能力，培养学生用数形结合和转化变换等思想分析数学问题。 情感目标 培养学生自主学习、积极主动探求知识的习惯和品质、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念，帮助学生建立勇于探索创新的精神和克服困难的信心。 【教学重点】 理解奇偶性的定义； 掌握判定方法； 学会利用函数的奇偶性解题。 【教学难点】 灵活运用函数的奇偶性求解函数解析式、 对称区间上函数的单调性的判断。 【考点分析】 考查判断函数的奇偶性的能力； 利用函数奇偶性的图像解题； 利用函数的奇偶性求解析式； 利用函数奇偶性求单调区间。 【知识点梳理】 一、函数奇偶性的概念 1函数的奇偶性的定义：在定义域关于原点对称的前提乐件下， 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。例如：函数, 等都是偶函数。 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数。例如：函数，都是奇函数。 说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称； （2） 或必有一成立。 因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算，看是等于还是等于，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。 （3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。 （4）函数既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足也满足。 （5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于轴对称，那么这个函数是偶函数。 （6）奇函数若在时有定义，则． 2、主要方法： (1)、判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响； (2)、牢记奇偶函数的图象特征，有助于判断函数的奇偶性； (3)、判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式：，． (4)、设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇． 2. 函数的奇偶性的性质 ①对称性:奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②整体性:奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个都必须成立； ③可逆性: 偶函数； 奇函数； ④等价性: ⑤奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于轴对称； ⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 【典型例题】 题型一 判断函数的奇偶性 例1判断下列函数的奇偶性: （1）f(x)=x4； （2）f(x)=x5； （3）f(x)=x+； （4）f(x)=. 思路分析：学生思考奇偶函数的定义，利用定义来判断其奇偶性.先求函数的定义域，并判断定义域是否关于原点对称，如果定义域关于原点对称，那么再判断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x). 解答过程： 解：（1）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)4=x4=f(x)， 所以函数f(x)=x4是偶函数. （2）函数的定义域是R，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=(-x)5=-x5=-f(x), 所以函数f(x)=x4是奇函数. （3）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x，都有f(-x)=-x+=-(x+)=-f(x)， 所以函数f(x)=x+是奇函数. （4）函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)，对定义域内任意一个x，都有f(-x)===f(x)， 所以函数f(x)= 是偶函数. 点评：本题主要考查函数的奇偶性.函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，对定义域内任意x，其相反数-x也在函数的定义域内，此时称为定义域关于原点对称. 小结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f(-x)与f(x)的关系； ③作出相应结论： 若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,则f(x)是偶函数； 若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,则f(x)是奇函数. 变式一 设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是( ) A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数 C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶