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南京市2019届高三年级学情调研卷
数 学
2018.09
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分.不需要写出解答过程,请将答案填写在答题卡相应的位置上.)
1.已知集合A=,B=,那么集合AB中有
个元素.
2.复数z=(1+bi)(2﹣i),其中bR,i为虚数单位,若z是纯虚数,则实数b的值为 .
3.已知某地连续5天的最低气温(单位:摄氏度)依次是18,21,22,24,25,那么这组
数据的方差为 .
4.执行如图所示的算法流程图,则最后输出的S的值为 .
5.若函数是奇函数,则实数a的值为 .
6.在平面直角坐标系xOy中,若抛物线的准线与双曲线,的一条渐近线的交点的纵坐标为2,则该双曲线的离心率是 .
7.不透明的盒子中有大小、形状和质地都相同的5只球,其中2只白球,3只红球,现从中随机取出2只球,则取出的这2只球颜色相同的概率是 .
8.已知函数()的图象关于直线对称,则的值为 .
9.如图,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,AB=2,AA1=3,则四棱锥A1—B1C1CB的体积是 .
10.在数列中,已知,,则
的值为 .
11.已知△ABC的面积为,且AC﹣AB=2,cosA=,则
BC的长为 .
12.在菱形ABCD中,∠ABC=60°,E为边BC上一点,且,,则的值为 .
13.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(1,﹣1),点P为圆上任意一点,记△OAP和△OBP的面积分别为S1和S2,则的最小值是 .
14.若函数在和两处取得极值,且,则实数a的取值范围是 .
二、解答题(本大题共6小题,共计90分.请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)
15.(本题满分14分)
如图,已知四边形ABCD是矩形,平面ABCD⊥平面BCE,BC=EC,F是BE的中点.
(1)求证:DE∥平面ACF;
(2)求证:平面AFC⊥平面ABE.
16.(本题满分14分)
已知,为钝角,且sin=,cos=.
(1)求tan的值;
(2)求cos(2+)的值.
17.(本题满分14分)
销售甲种商品所得利润是P万元,它与投入资金t万元的关系有经验公式P=;销售乙种商品所得利润是Q万元,它与投入资金t万元的关系有经验公式Q=bt,其中a,b为常数.现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售:若全部投入甲种商品,所得利润为万元;若全部投入乙种商品,所得利润为1万元.若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售,余下的投入乙种商品的销售,则所得利润总和为万元.
(1)求函数的解析式;
(2)怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品,才能使所得利润总和最大,并求最大值.
18.(本题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:的离心率为,且直线l:被椭圆E截得的弦长为2.与坐标轴不垂直的直线交椭圆E于P,Q两点,且PQ的中点R在直线l上,点M(1,0).
(1)求椭圆E的方程;
(2)求证:MR⊥PQ.
19.(本题满分16分)
已知函数,.
(1)求过原点(0,0),且与函数的图象相切的直线l的方程;
(2)若a>0,求函数在区间[1,)上的最小值.
20.(本题满分16分)
如果数列共有k(,)项,且满足条件:①;②,则称数列为P(k)数列.
(1)若等比数列为P(4)数列,求的值;
(2)已知m为给定的正整数,且.①若公差为正数的等差数列是P(2m+3)数列,求数列的公差;②若,其中q为常数,q<﹣1.判断数列是否为P(2m)数列,说明理由.
参考答案:
1.2 2.﹣2 3.6 4.8 5. 6. 7.
8.1 9. 10. 11.8 12. 13.
14.[,)
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