初中数学培优竞赛讲座第18讲--乘法公式.docVIP

PAGE PAGE 5 第十八讲 乘法公式 乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应该做到以下几点： 1．熟悉每个公式的结构特征，理解掌握公式； 2．根据待求式的特点，模仿套用公式； 3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式； 4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式． 例题 【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2000，则这两个连续奇数可以是 ．(江苏省竞赛题) (2)已知(2000一a)(1998一a)=1999，那么(2000一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题) 思路点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2000一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形． 注：公式是怎样得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表示数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式． 从特殊到一般的过程是人类认识事物的一般规律，而观察、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法． 乘法公式常用的变形有： (1)，． (2)； (3) ； （4）， 【例2】 若x是不为0的有理数，已知，，则M与N的大小是（ ） A．MN B． MN C． M=N D．无法确定 思路点拨 运用乘法公式，在化简M、N的基础上，作差比较它们的大小． 【例3】 计算： (1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1； (天津市竞赛题) (2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452． (江苏省竞赛题) 思路点拨 若按部就班计算，显然较繁．能否用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特征，对于(2)，由于数字之间有联系，可用字母表示数(称为换元)，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特征． 【例4】 (1)已知x、y满足x2十y2十＝2x十y，求代数式的值． (“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x，y满足不等式，求x+y的值． (第14届“希望杯”邀请赛试题) (3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a，第二次提价的百分率为b，乙商场：两次提价的百分率都是(a0，bo)，丙商场：第一次提价的百分率为b，第二次提价的百分率为a，则哪个商场提价最多?说明理由． (河北省竞赛题) 思路点拔 对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x、y的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表示，作差比较它们的大小． 注： 有些问题常常不能直接使用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，才能使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等． 完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论： (1)； 揭示式子的非负性，利用非负数及其性质解题． (2) 应用于代数式的最值问题． 代数等式的证明有以下两种基本方法： 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量． 【例5】 已知a、b、c均为正整数，且满足，又a为质数． 证明：(1)b与c两数必为一奇一偶； (2)2(a+b+1)是完全平方数． 思路点拨 从的变形入手；，运用质数、奇偶数性质证明． 学力训练 1．观察下列各式： (x一1)(x+1)＝x2一l； (x一1)(x2+x+1)=x3一1； (x一1)(x3十x2+x+1)=x4一1． 根据前面的规律可得(x一1)(x n+x n-1+…+x+1)= ． (武汉市中考题) 2．已知，则= ． (杭州市中考题) 3．计算： (1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655： ； (2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ； (3) ． 4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的