10：马尔可夫链-数学建模.pptVIP

马尔可夫链建模法 马尔可夫链基本理论和结论 服务网点的设置问题 常染色体遗传模型 常染体隐性疾病模型 现在，我们考虑在控制结合的情况下，如何确定后代中隐性患者的概率。 （a）假设 （i）常染色体遗传的正常基因记 为A，不 正常基因记 为a，并以 AA，Aa，aa 分别表示正常人，隐性患者，显性患 者的基因型 （ii）设an,bn分别表示第n代中基因型为 AA，Aa的人占总人数的百分比， 记 ，n=1,2,…（这里 不考 虑aa型是因 为这些人不可能成年并结婚） （iii）为使每个儿童至少有一个正常的父 亲或母亲，因此隐性患者必须与正常 人结合，其后代的基因型概率由 下表 给出： 1/2 0 Aa 1/2 1 AA 后 代 基 因 型 AA－Aa AA－AA 父母的基因型 （b）建模 由假设（iii），从第n－1代到第n代基因型分布的变化取 决于方程 所以 ，其中 如果初始分 布x(0)已知，那么 第n代基因型分布为 解 将M对角化，即求出特征值及其所对应的特征向量，得 计算 = (4.8) 因为 ，所以当 时， ， 隐性患者逐渐消失。 从(4.8)式中可知 每代隐性患者的概率是前一代隐性患者概率的1/2。 (4.9) （c）模型讨论 研究在随机结合的情况下，隐性患者的变化是很有意思的，但随机结合导致了非线性化问题，超出了本章范围，然而用其它技巧，在随机结合的情况下可以 把（4.9）式改写为 (4.10) 下面给会出数值例子： 某地区有10%的黑人是镰状网性盆血症隐性患者，如果控制结合，根据（4.9）式可知下一代 （大约27年）的隐性患者将减少到5%；如果随机结合，根据 （4.10）式，可以预言下一代人中 有9.5%是隐性患者，并且可计算出大约每出生400个黑人孩子，其中有一个是显性患者。 （近亲繁殖） 近亲繁殖是指父母双方有一个或两个共同的祖先，一般追踪到四代，即至少有相同的曾祖父（母）或外曾祖父（母）。为简单起见，我们来考察一对表兄妹（或堂兄妹）结婚的情况，其中□代表男性，○代表女性。 设曾祖父有某基因 对A1A2，曾祖母有某基因 对A3A4，容易求得：祖父母取 得A1的概率为 1/2，故祖父母同 有A1基因的概率为1/4；父母同有A1基因的概率为 1/16，而子女从父母那里获得基因对A1A1的概率为 1/64，而获得相同基因对（称为基因纯合子）A1A1，A2A2，A3A3或A4A4之一的概率为 1/16,此概率被称为表兄 妹(或堂兄妹)结婚(表亲)的近交系数。 类似可求得半堂亲（只有一个共同祖先）的近交系数 为1/32，从表亲（父母为表亲）的近交系数 为1/64；非近亲结婚不可能发生重复取某祖先的一对基因对中的某一基因作为自己的基因对的情况，故近交系数 为0。 （群体的近交系数） 设某群体中存在近亲婚配现象，称各种近交系数的数学期望为该群体的近交系数。例如，某村镇共有2000对婚配关系，其中有59对表亲，22对半堂亲 和28对从表亲，则该村镇的近亲系数为 现在，我们来研究近亲结 婚会产生什么结果。 设某基因对由 A、a两种基因组成，出 现A的概率为p，出现a的概率为q=1-p。在随机交配群体中，其子女 为AA、Aa及aa型的概率分别 为p2、2pq及q2。 对近交系数 为F的群体，根据条件概率公式，后代出 现aa型基因对的概率为 比较存在近亲交配的群体与不允许近亲交配 (F=0)的群体， 令 若a为某种隐性疾病的基因，易见，在近交群体中，后代产 生遗传病（aa型）的概率增大了， 且F越大，后代患遗传病 的概率也越大。 同样，后代出现AA型基因对的概率 为p2+Fpq。Aa型不可能 是共同祖先同一基因的重复，故其出现的概率为2pq(1-F)。 例如，苯丙酮尿症是一种隐性基因纯合子 aa型疾病（a为隐性疾病基因），隐性基因出现的频率 ，求表 兄妹结婚及非近亲结婚的子女中患有苯丙酮尿症的概率。 由前，表兄妹结婚的近交系数为 1/16,故其子女发生该疾病的概率为 而对禁止近亲结婚的群体，子女发生该疾病的概率为q2=10-4。表兄妹（或堂兄妹）结婚使子女发生该疾病