必考题型解答策略：函数与导数1.docVIP

PAGE 函数与导数解答策略 已知函数， (Ⅰ)证明：曲线 （Ⅱ）若处取得极小值，，求a的取值范围。 2、设函数（Ⅰ）求单调区间（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立，注：为自然对数的底数 3、设=的导数为,若函数=的图象关于直线=对称，且=0.(Ⅰ)求实数,的值;(Ⅱ)求函数的极值. 4、设。（Ⅰ）求的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论与的大小关系；（Ⅲ）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立。 5、已知函数.（Ⅰ）设函数F(x)=18 f(x)-x2 [h(x)]2,求F(x)的单调区间与极值；（Ⅱ）设aR,解关于x的方程lg[f(x-1)- ]=2lgh(a-x)- 2lgh(4-x);（Ⅲ）设n*,证明：f(n)h(n)- [h(1)+h(2)+ …+h（n）] ≥. 6、设,讨论函数 的单调性． 7、某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分 每平方米建造费用为.设该容器的建造费用为千元. （Ⅰ）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的. 8、已知函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求的值（2）证明：当时， 9、设函数(I)讨论的单调性；（II）若有两个极值点，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 10、设函数，其中为常数，已知曲线与在点(2,0)处有相同的切线.(Ⅰ)求的值，并写出切线的方程； (Ⅱ)若方程有三个互不相同的实数根，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围. 11、设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值． 12、设函数=，曲线y=过P（1,0），且在P点处的切斜线率为2.（I）求a，b的值；（II）证明：≤2x-2。 13、已知函数f(x)=xe-x（xR）.(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值；(Ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x1时，f(x)g(x) (Ⅲ)如果且证明 14、已知函数，其中．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，求的单调区间；（Ⅲ）证明：对任意的在区间内均存在零点． 15、已知，函数（的图像连续不断） （Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）当时，证明：存在，使； （Ⅲ）若存在均属于区间的，且，使，证明． 已知函数 (Ⅰ)证明：曲线 （Ⅱ）若处取得极小值，，求a的取值范围。 【解析】(Ⅰ)，，故x=0处切线斜率，又即， 当， 故曲线 （Ⅱ），令 ， 2、设函数（Ⅰ）求单调区间（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立，注：为自然对数的底数 【解析】： （Ⅰ）因为所以 由于所以的增区间为，减区间为。 （Ⅱ）由题意得即。由（Ⅰ）知在单调递增，要使 对恒成立，只要解得 3、设=的导数为,若函数=的图象关于直线=对称，且=0.(Ⅰ)求实数,的值;(Ⅱ)求函数的极值. 【解析】(Ⅰ)=, ∵若函数=的图象关于直线=对称，且=0, ∴=且，解得=3，=－12. (Ⅱ)由(Ⅰ)知=，==，的变化如下： （－∞，－2） －2 （－2,1） 1 （1，+∞） + 0 － 0 ＋ 极大值21 极小值－6 ∴当=－2时，取极大值，极大值为21，当=1时，取极小值，极小值为－6. 4、设。（Ⅰ）求的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论与的大小关系；（Ⅲ）求的取值范围，使得＜对任意＞0成立。 解（Ⅰ）由题设知，∴令0得=1， 当∈（0，1）时，＜0，故（0，1）是的单调减区间。 当∈（1，+∞）时，＞0，故（1，+∞）是的单调递增区间，因此，=1是的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为 (II)设，则， 当时，即，当时， 因此，在内单调递减，当时，即 （III）由（I）知的最小值为1，所以，，对任意，成立即从而得。 5、已知函数.（Ⅰ）设函数F(x)=18 f(x)-x2 [h(x)]2,求F(x)的单调区间与极值；（Ⅱ）设aR,解关于x的方程lg[f(x-1)- ]=2lgh(a-x)- 2lgh(4-x);（Ⅲ）设n*,证明：f(n)h(n)- [h(1)+h(2)+ …+h（n）] ≥. 解析：（Ⅰ）， ，当时，；当时，；故函数的单调递增区间是，单调递减区间是，在时，函数取得极大值. （Ⅱ）由方程lg[f(x-1)- ]=2lgh(a-x)- 2lgh(4-x)， 得，即，即， 方程可以变为，， 当，方程， ，； 当，方程，； 当时，方程有一个解；当方