指数运算和指数函数专题.docVIP

既然选择了远方，就必须风雨兼程1 PAGE \* MERGEFORMAT 10 PAGE \* MERGEFORMAT 10 既然选择了远方，就必须风雨兼程！ 第五讲 指数运算与指数函数 时间： 年 月 日 刘满江老师 学生签名： 兴趣导入 学前测试 1. 已知，函数，若满足关于的方程，则下列选项的命题中为假命题的是 （A） （B） （C） （D） 解析：选C.函数的最小值是 等价于，所以命题错误. 2. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致为 【答案】A 【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。 方法培养 1．根式的概念 结论：当是奇数时，,当是偶数时， 2．分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．有理指数幂的运算性质 （1）·； （2）； （3）． 指数函数的概念 一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 注意： eq \o\ac(○,1) 指数函数的定义是一个形式定义 eq \o\ac(○,2) 注意指数函数的底数的取值范围，底数为什么不能是负数、零和1． （三）指数函数的图象和性质 注意内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 指数函数的图象如右图： 4．指数函数的性质 图象特征 函数性质 向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+ 函数图象都过定点（0，1） 自左向右看， 图象逐渐上升 自左向右看， 图象逐渐下降 增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快； 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢； 利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a，b]上，值域是或；（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数，总有；（4）当时，若，则； [例1] 化简，结果是（ ） A、 B、 C、 D、 2、等于（ ） A、 B、 C、 D、 变式练习11．若32x+9=10?3x，那么x2+1的值为（　D　） 　 A． 1 B． 2 C． 5 D． 1或5 解：令3x=t，（t＞0）， 原方程转化为：t2﹣10t+9=0， 所以t=1或t=9，即3x=1或3x=9 所以x=0或x=2，所以x2+1=1或5 故选D 2．若关于x的方程=3﹣2a有解，则a的范围是（　A　） 　 A． ≤a＜ B． a≥ C． ＜a＜ D． a＞ 解：∵1﹣≤1，函数y=2x在R上是增函数，∴0＜≤21=2， 故 0＜3﹣2a≤2，解得 ≤a＜， 故选A． 〖例2〗已知，下列不等式（1）；(2)；(3)；(4)；(5)中恒成立的有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 变式练习2 1．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝(eq \f(1,2))－1.5，则(　　) A．y3y1y2　　　　　　 B．y2y1y3 C．y1y2y3 D．y1y3y2 解析：选D.y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝21.44， y3＝(eq \f(1,2))－1.5＝21.5， ∵y＝2x在定义域内为增函数， 且1.81.51.44， ∴y1y3y2. 2．若函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ax，x1,?4－\f(a,2)?x＋2，x≤1))是R上的增函数，则实数a的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．(1,8) C．(4,8) D．[4,8) 解析：选D.因为f(x)在R上是增函数，故结合图象(图略)知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1,4－\f