1988年考研数学试题答案与评分参考.doc

1988 年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准 数 学（试卷一） 一．(本题满分 15 分，每小题 5 分) ? ( x ? 3)n (1) 求幂级数 ? 的收敛域. n?1 n ?3 ( x ? 3)n?1 解：因 lim ( n ?1) ?3n?1 ? lim n x ? 3 ? 1 x ? 3 , 故 1 x ?3 ?1即0 ? x ? 6 时， ( x ? 3)n n ?? n?? 3( n ?1) 3 3 n ?3n 幂级数收敛. ??3 分 ? 1 当 x ? 0 时，原级数成为交错级数 ?( ?1)n ，是收敛的. ??4 分 n?1 n ? 1 当 x ? 6 时，原级数成为调和级数 ? ，是发散的. ??5 分 n?1 n 所以，所求的收敛域为?0, 6?. (2) 已知 f(x)= e x 2 ,f ??( x)?=1-x,且 ? (x) ? 0.求 ? (x)并写出它的定义域. 解：由 e[?( x)]2 ?1? x ，得 ?( x) ? ??3 分 ln(1 ? x) . 由 ln(1 ? x) ? 0 ，得1 ? x ?1 即 x ? 0 . ??5 分 所以?( x) ??ln(1 ? x) ，其定义域为 ( ??, 0). (3)设 S 为曲面 x2 ? y2 ? z2 ?1 的外侧，计算曲面积分 I ? ??x3dydz ? y3dxdx? z3dxdy. s 解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有 I ? 3???( x 2 ? y 2 ? z 2 )dv （其中 ? 是由 S 所围成的区域） ??2 分 ? 2 ? ? 1 ??3?0 d? ?0 d ??0 r 2 ? r 2 sin ?dr ??4 分 12? . ??5 分 ???5 1988 年 ? 第 1 页 二、填空题：(本题满分 12 分，每小题 3 分) (1) 若 f(t)= lim t (1 ? 1 ) 2tx ，则 ? 2t x x?? 2,?1?x?0 (2) 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间 ??1,1? 上的定 f(x)= ?x3 ,0?x?1 ,则 f(x)的付立叶级 数在 x=1 处收敛于 2 . 3 x3 ?1 1 (3) 设 f(x)是连续函数，且 ?0 f (t)dt ? x, 则 f(7)= . 12 (4) 设 4*4 矩阵 A= (?,? 2,? 3,? 4 ) ，B= (?,? 2,?3,? 4 ) ，其中，?, ?,? 2 ,? 3,? 4 均为 4 维列向量， 且已知行列式 A ? 4, B ?1,则行列式 A ? B =. 40 . 三、选择题 ( 本题满分 15 分，每小题 3 分) (1) 若函数 y=f(x)有 f ?(x ) ? 1 ，则当 ?x ? 0 时，该函 x= x 处的微分 dy 是 (B) 0 2 0 (A) 与 ?x 等价的无穷小 (B) 与 ?x 同阶的无穷小 (C) 比 ?x 低阶的无穷小 (D) 比 ?x 高阶的无穷小 (2) 设 y ? f ( x) 是方程 y???? 2 y??? 4 y ? 0 的一个解，若 f ( x) ? 0 ，且 f ?(x0 ) ? 0 ，则函数 f ( x) 在点 x0 (A) (A) 取得极大值 (B) 取得极小值 (C) 某个邻域内单调增加 (D) 某个邻域内单调减少 (3) 设有空间区域 ? : x2 ? y2 ? z2 ? R2 , z ? 0; 及 ? : x2 ? y2 ? z2 ? R2 , x ? 0, y ? 0, z ? 0, 则 (C) 1 2 (A) ?????xdv???4????xdv (B) ???? ydv ? 4???? ydv 1 2 1 2 (C) ?????zdv???4????zdv (D) ???? xyzdv ? 4???? xyzdv 1 2 1 2 ? (4) 若 ?an (x ?1)n 在 x=-1 处收敛，则此级数在 x=2 处 (B) n?1 (A) 条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不能确定 (5) n 维向量组 ?1 , ?2 , , ?s (3 ? s ? n) 线性无关的充分必要条件是 (D) 有一组不全为 0 的数 k1 , k 2 , , ks , 使 k1 ?1 ? k2?2 ???? ks?s ? 0 . ?1 , ?2 , ,?s 中任意两个向量都线性无关. ?1 , ?2 , ,?s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出. ?1 , ?2 , ,?s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出. 四．(本题满分 6 分) 1988 年 ? 第 2 页