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24.1.3-弧、弦和圆心角ppt
4、如图,AB、CD是⊙O的两条弦。 (1)如果AB=CD,那么 , 。 (2)如果AB=CD,那么 , 。 (3)如果∠AOB=∠COD, 那么 , 。 (4)如果AB=CD,OE⊥AB于E,OF⊥CD于F,OE与 OF相等吗?为什么? * * O · B A 所以圆是中心对称图形。 . O A B 180° 1、观察:将圆绕圆心旋转180°后,得到的图形与原图形重合吗?由此你得到什么结论呢? 探究一 2、把圆绕圆心旋转任意一个角度呢? 仍与原来的圆重合吗? O α 圆具有旋转不变性 · O B A · O B A · O B A 观察在⊙O中,这些角有什么共同特点? 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角. 探究二 · O B A 判别下列各图中的角是不是圆心角,并说明理由。 ① ② ③ ④ 议一议 不是 不是 不是 是 如图,当圆心角∠AOB=∠A’OB’时,它们所对待弧和弦分别相等吗?为什么? 根据旋转的性质,将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时,显然∠AOB=∠A′OB′,射线OA与OA′重合,OB与OB′重合.而同圆的半径相等,OA=OA′,OB=OB′,从而点A与A′重合,B与B′重合. · O A B · O A B A′ B′ A′ B′ 因此,弧AB与弧A ′ B ′ 重合,AB与A′B′重合. ⌒ AB ⌒ A’B = 探究三 同样,还可以得到: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角_____, 所对的弦________; 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么他们所对的圆心角______,所对的弧_________. 这样,我们就得到下面的定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦也相等. 相等 相等 相等 相等 同圆或等圆中, 两个圆心角、两 条弧、两条弦中 有一组量相等, 它们所对应的其 余各组量也相 等. 定理 1相等的圆心角所对的弧相等。( ) × 50 o 小试牛刀 3.如图,在⊙O中,AB=AC, ∠B=70°.求∠C度数. ︵ ︵ B A O 2.如图,⊙O中,AB=CD, ,则 O D C A B 1 2 ⌒ ⌒ 试一试 相 等 理由是:∵AB=CD , ∴∠AOB=∠COD. 又∵AO=CO,BO=DO, ∴△AOB ≌ △COD. 又∵OE、OF是AB与CD对应边上的高, ∴ OE = OF. 圆心到弦的距离叫做这条弦的弦心距.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦的弦心距相等. A O C B 例1.如图,在⊙O中, ,∠ACB=60° (1)求证: ∠AOB=∠BOC=∠AOC AB=AC ⌒ ⌒ 例题讲解 证明:∵ ∴AB=AC, △ABC是等 腰三角形. 又∠ACB=60°, ∴△ABC是等边三角形 ∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC. AB=AC ⌒ ⌒ A O C B 例1.如图,在⊙O中, ,∠ACB=60° AB=AC ⌒ ⌒ 例题讲解 (2)∠AOB、∠COB、∠AOC的度数分别为__________ A O C B 例1.如图,在⊙O中, ,∠ACB=60° AB=AC ⌒ ⌒ 例题讲解 (3)若⊙O的半径为r,则等边ABC三角形的边长为_______ 例1.如图,在⊙O中, ,∠ACB=60° AB=AC ⌒ ⌒ 例题讲解 (4)延长AO,分别交BC于点P,BC于点D,连结BD,CD。试判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形,并说明理由。 O C B A D P 例2.如图,已知点O是∠EPF 的平分线上一点,P点在圆外, 以O为圆心的圆与∠EPF 的两边分别相交于A、B和C、D. 求证:AB=CD 分析:联想到角平分线的性质,作弦心距OM、ON, 证明:作 ,垂足分别为M 、 N . OM=ON AB=CD . P A B E C M N D F 要证AB=CD ,只需证OM=ON O 例题讲解 . P B E D F O A C . 如图,P点在圆上,PB=PD吗? P点在圆内,AB=CD吗? P B E M N D F O M N 思考 1.如图,AB是⊙O的直径, ,∠COD=35°, 求∠AOE的度数. · A O B C D E 解: BC=CD=DE ⌒ ⌒ ⌒ 基础训练 BC=CD=DE ⌒ ⌒ ⌒ ∵ ,且∠COD=35° 2.如图,已知AD=BC,求证AB=CD.
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