第三章一维定态问题-(精选·公开·课件).ppt

数学上： 学会一套规范化的求解薛定谔方程的方案 通过数学，看物理 厄密多项式和谐振子波函数的递推关系： 从上式出发，可导出 厄密多项式的递推关系： 应 用 实 例 例：已知 H0 = 1, H1=2ξ，则 根据上述递推关系得出： H2 = 2ξH1-2nH0 = 4ξ2-2 下面给出前几个厄密 多项式具体表达式： H0=1 H2=4ξ2-2 H4 = 16ξ4-48ξ2+12 H1=2ξ H3=8ξ3-12ξ H5=32ξ5-160ξ3+120ξ 基于厄密多项式的递推关系可以导出谐振子波函数Ψ(x)的递推关系： （5）求归一化系数 ( 分 步 积 分 ) 该式第一项是一个多项式与 exp[-ξ2] 的 乘积，当代入上下限ξ=±∞后，该项为零。 继续分步积分到底 因为Hn的最高次项 ξn的系数是2n，所以 dnHn /dξn = 2n n!。 于是归一化系数 则谐振子 波函数为： (I)作变量代换，因为ξ=αx， 所以dξ=α dx； (II)应用Hn(ξ)的封闭形式。 （6）讨论 3. 对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。值得注意的是，基态能量 E0={1/2}?ω ≠0，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。 1。上式表明，Hn(ξ)的最高次项是(2ξ)n。所以： 当 n=偶，则厄密多项式只含ξ的偶次项； 当 n=奇，则厄密多项式只含ξ的奇次项。 2. ψn具有n宇称 上式描写的谐振子波函数所包含的 exp[-ξ2/2]是ξ的偶函数，所以ψn的宇称由厄密多项式 Hn(ξ) 决定为 n 宇称。 n = 0 n = 1 n = 2 4. 波函数 然而，量子情况与此不同 对于基态，其几率密度是： ω0(ξ) = |ψ0(ξ)|2 = = N02 exp[-ξ2] 分析上式可知：一方面表明在ξ= 0处找到粒子的几率最大； 另一方面，在|ξ|≧1处，即在阱外找到粒子的几率不为零， 与经典情况完全不同。 以基态为例，在经典情形下，粒子将被限制在|α x| 1 范围中运动。这是因为振子在这一点(|αx| = 1)处，其势能V(x)=(1/ 2)μω2 x2 = {1/2} ?ω= E0，即势能等于总能量，动能为零，粒子被限制在阱内。 ? -3 -2 -1 0 1 2 3 E0 E1 E2 分析波函数可知量子力学的谐振子波函数ψn有 n 个节点，在节点处找到粒子的几率为零。而经典力学的谐振子在 [-a, a] 区间每一点上都能找到粒子，没有节点。 -1 0 1 ω0(ξ) ωn(ξ) n=2 n=1 n=0 -1 1 ? -2 2 -4 4 |?10|2 ? 5. 几率分布 （三）实例 解： （1）三维谐振子 Hamilton 量 例1. 求三维谐振子能级，并讨论它的简并情况 （2）本征方程及其能量本征值 解得能量本征值为： 则波函数三方向的分量 分别满足如下三个方程： 因此，设能量本征方程的解为： 如果系统 Hamilton 量可以写成 则必有： * 第三章 一维定态问题 在继续阐述量子力学基本原理之前，先用 Schrodinger 方程来处理一类简单的问题——一维定态问题。其好处有四： （1）有助于具体理解已学过的基本原理； （2）有助于进一步阐明其他基本原理； （3）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子 体系的许多特征都 可以 在这些一维问题中展现出来； （4）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。 1 一维无限深势阱 2 线性谐振子 3 一维势散射问题 一维无限深势阱 （一）一维运动 （二）一维无限深势阱 （三）宇称 （四）讨论 （一） 一维运动 所谓一维运动就是指在某一方向上的运动。 此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式，则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。 令 ψ(x,y,z) = X(x) Y(y) Z(z) E = Ex + Ey + Ez 于是S-方程化为三个常微分方程： 当粒子在势场 V(x,y,z) 中运动时，其 Schrodinger 方程为： 其中 （二）一维无限深势阱 求解 S — 方程 分四步： （1）列出各势域的一维S—方程 （2）解方程 （3）使用波函数标准条件定解 （4）定归一化系