2009年考研数学一真题与答案.doc

第 PAGE 1 页 共 NUMPAGES 21 页 2009年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） 当时，与等价无穷小，则（ ） . . . .-1-111 -1 -1 1 1 如图，正方形被其对角线划分为 四个区域，， 则（ ） . . . . 设函数在区间上的图形为： 1 1 -2 0 2 3 -1 O 则函数的图形为（ ） . 0231-2-1 0 2 3 1 -2 -1 1 0 2 3 1 -2 -1 1 .0231-11 0 2 3 1 -1 1 0 2 3 1 -2 -1 1 设有两个数列，若，则（ ） 当收敛时，收敛. 当发散时，发散. 当收敛时，收敛. 当发散时，发散. 设是3维向量空间的一组基，则由基到基 的过渡矩阵为（ ） . . . . 设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为（ ） . . . . 设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则（ ） . . . . 设随机变量与相互独立，且服从标准正态分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为（ ） 0. 1. 2. 3. 二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.） 设函数具有二阶连续偏导数，，则 。 若二阶常系数线性齐次微分方程的通解为，则非齐次方程满足条件的解为 。 已知曲线，则 。 设，则 。 若3维列向量满足，其中为的转置，则矩阵的非零特征值为 。 设为来自二项分布总体的简单随机样本，和分别为样本均值和样本方差。若为的无偏估计量，则 。 三、解答题（15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） （本题满分9分）求二元函数的极值。 （本题满分9分）设为曲线与所围成区域的面积，记 ，求与的值。 3. （本题满分11分）椭球面是椭圆绕轴旋转而成，圆锥面是过点且与椭圆 相切的直线绕轴旋转而成。 （Ⅰ）求及的方程 （Ⅱ）求与之间的立体体积。 4. （本题满分11分） （Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得 （Ⅱ）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且。 5. （本题满分10分）计算曲面积分，其中是曲面 的外侧。 6. （本题满分11分） 设 （Ⅰ）求满足的. 的所有向量,. （Ⅱ）对 = 1 \* GB3 ①中的任意向量,证明,,无关。 7. （本题满分11分） 设二次型 （Ⅰ）求二次型的矩阵的所有特征值； （Ⅱ）若二次型的规范形为，求的值。 8. （本题满分11分） 袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，以分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。 （Ⅰ）求； （Ⅱ）求二维随机变量概率分布。 9. （本题满分11 分） 设总体的概率密度为，其中参数未知，，,…是来自总体的简单随机样本 (Ⅰ)求参数的矩估计量； （Ⅱ）求参数的最大似然估计量 2009年考研数学一真题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当时，与等价无穷小，则（ ） . . . . 【答案】 【解析】为等价无穷小，则 故排除。 另外存在，蕴含了故排除。 所以本题选A。 -1 -1 -1 1 1 （2）如图，正方形被其对角线划分为 四个区域，， 则（ ） . . . . 【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。 两区域关于轴对称，而，即被积函数是关于的奇函数，所以; 两区域关于轴对称，而，即被积函数是关于的偶函数，所以； .所以正确答案为A. （3）设函数在区间上的图形为： 1 1 -2 0 2 3 -1 O 则函数的图形为（ ） . 0231-2-1 0 2 3 1 -2 -1 1 0 2 3 1 -2 -1 1 .0231-11 0 2 3 1 -1 1 0 2 3 1 -2 -1 1 【答案】 【解析】此题为定积分的应用知识考核，由的图形可见，其图像与轴及