函数和极限重点知识归纳.docVIP

常量与变量 变量的定义?? 我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化,我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。??? 注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。变量的表示?? 如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。?? 在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。 区间的名称 区间的满足的不等式 区间的记号 区间在数轴上的表示 闭区间 a≤x≤b [a，b] 开区间 a＜x＜b （a，b） 半开区间 a＜x≤b或a≤x＜b （a，b]或[a，b）  以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：?? [a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；?? (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b；?? (-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞??? 注：其中-∞和+∞，分别读作负无穷大和正无穷大,它们不是数,仅仅是记号。邻域? 设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 函 数 函数的定义?? 如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做因变量。?? 注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母f、F表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的.?? 注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 函数的有界性?? 如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。??? 注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数?? 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. 函数的单调性 如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有????????????????????? ，?? 则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。?? 如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有????????????????????? ，?? 则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。?? 例题：函数=x2在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。 函数的奇偶性?? 如果函数对于定义域内的任意x都满足????????????????????? =，?? 则叫做偶函数；?? 如果函数对于定义域内的任意x都满足???????????????????? =-，?? 则叫做奇函数。?? 注意：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。 函数的周期性?? 对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式????????????????????? 对于定义域内任何x值都成立，则叫做周期函数，l是的周期。?? 注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。?? 例题：函数是以2π为周期的周期函数；函数tgx是以π为周期的周期函数。 反函数 反函数的定义?? 设有函数，若变量y在函数的值域内任取一值y0时，变量x在函数的定义域内必有一值x0与之对应，即，那末变量x是变量y的函数.?? 这个函数用来表示，称为函数的反函数.??? 注：由此定义可知，函数也是函数的反函数。 反函数的存在定理?? 若在(a，b)上严格增(减)，其值域为 R，则它的反函数必然在R上确定，且严格增(减).?? 注：严格增(减)即是单调增(减)?? 例题：y=x2，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞).对于y取定的非负值,可求得x=±.若我们不加条件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。如果我们加上条件，要求x≥0，则对y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0时的反函数。即是：函数在此要求下严格增(减). 反函数的性质?? 在同一坐标平面内，与的图形是关于直线y=x对称的。?? 例题：函数与函数互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x对称的。如右图所示：???????????????????