24.2.2直线与圆的位置关系（二）解析.pptVIP

24.2.2直线和圆的位置关系（2） 切线的判定定理和性质定理 下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出． 1、当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？ 2、砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向？ 思考 r O l A 如图，在⊙O中，经过半径OA的外端 点A作直线 ,则圆心O到直线 的 距离是多少？直线 和⊙O有什么位 置关系？ 经过半径的外端且垂于这条半径 的直线是圆的切线。 条件： (1)经过半径的外端 切线判定定理： (2)垂直于这条半径 ● O ┐ A l ∵ l 经过半径OA的外端点A l⊥OA ∴直线l是⊙O的切线 符号语言表达 结论：直线是圆的切线 (1)经过半径的外端 (2)垂直于这条半径 经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线。 切线判定定理： 条件： 结论：直线是圆的切线 判 断 1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ ） 2. 与半径垂直的直线是圆的切线（ ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ） × × × O r l A O r l A O r l A (1)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 (2)到圆心的距离等于半径的直线是圆的 切线 (3)经过半径的外端且垂于这条半径的直线 是圆的切线 (d=r) 归纳 切线的三种判定方法： 例1 直线AB经过⊙O上的点C,并且OA=OB,CA=CB, 求证:直线AB是⊙O的切线. 证明: 连接OC ∵OA=OB, CA=CB ∴△OAB是等腰三角形，OC 是底边AB上的中线 ∴OC⊥AB ∴AB是⊙O的切线 O C B A 已知直线经过圆上一点, “连半径，证垂直” 练习1、AB是⊙O的直径,∠ABC=45°，AC=AB，AC是⊙O的切线吗？为什么？ B A C O 解：AC是⊙O的切线 ∵AB=AC ∴∠C=∠B=450 ∴∠A=900 即AC⊥AB 又∵AC经过半径OA的外端点A ∴AC是⊙O的切线 变式练习 练习2、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，∠BAD=∠B = 30°，边BD交圆于点D。BD是⊙O的切线吗？为什么？ A O B C D 解：BD是⊙O的切线 连接OD ∵ OD=OA ∴∠ODA=∠BAD=∠B=300 ∴∠ BOD=600 ∴∠ODB=900 即： OD⊥DB 又∵BD经过半径OD的外端点 ∴BD是⊙O的切线 变式练习 例2:已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。求证：⊙O与AC相切。 O A B C E D 证明：过O作OE⊥AC于E。 ∵ AO平分∠BAC OD⊥AB, OE⊥AC ∴ OE＝OD ∵ OD是⊙O的半径 ∴ OE是⊙O的半径 即AC经过半径OE的外端点E 又∵ OE⊥AC ∴ AC是⊙O的切线。 不知直线与圆是否有公共点“作垂直,证半径” 小 结 例1与例2的证法有何不同? (1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简记为：连半径,证垂直。 (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长等于半径长。简记为：作垂直,证半径。 O B A C O A B C E D . O A L 一定垂直 切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径 简记为：“知切线，连半径，得垂直” 思考 如图，如果直线 是⊙O的切线,切点为A,那么半径OA与直线 是不是一定垂直呢? 例1 如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：AC是⊙O的切线. E 如图，AB是⊙O的直径, C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. 求证：AC平分∠DAB． A O D C B 证明：连接OC． ∵CD 是⊙O的切线，C是切点 ∴OC⊥CD. 又∵AD⊥CD , ∴OC//AD. ∴∠ACO＝ ∠CAD . 又∵OC=OD, ∴∠CAO＝ ∠ACO ∴∠CAD＝ ∠CAO , 故AC平分∠D