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概念 如果a^x=N(a0,且a不等于1)，则数x叫做以a为底N的对数，记做x=log（a）（N）　，其中a要写于log右下。[1] 对数性质与运算法则如下。 性质 ①loga(1)=0； ②loga(a)=1； ③负数与零无对数. 对数恒等式 a^logaN=N (a0 ，a≠1） 运算法则 ①loga(MN)=logaM+logaN； ②loga(M/N)=logaM－logaN； ③对logaM中M的n次方有=nlogaM； 如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数 的底。定义： 若a^n=b(a0且a≠1) 则n=log(a)(b) 基本性质： 1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 5、log(a^n)M=1/nlog(a)(M) 推导： 1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。 2、MN=M×N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 3、与（2）类似处理 M/N=M÷N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 4、与（2）类似处理 M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 基本性质4推广 log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推导如下： 由 HYPERLINK /view/1920827.htm \t _blank 换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底] log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 换底公式的推导： 设e^x=b^m,e^y=a^n 则log(a^n)(b^m)=log(e^y)(e^x)=x/y x=ln(b^m),y=ln(a^n) 得：log(a^n)(b^m)=ln(b^m)÷ln(a^n) 由基本性质4可得 log(a^n)(b^m) = [m×ln(b)]÷[n×ln(a)] = (m÷n)×{[ln(b)]÷[ln(a)]} 再由换底公式 log(a^n)(b^m)=m÷n×[log(a)(b)] 换底公式 设b=a^m，a=c^n，则b=(c^n)^m=c^(mn)………………………………① 对①取以a为底的对数，有：log(a)(b)=m……………………………..② 对①取以c为底的对数，有：log(c)(b)=mn……………………………③ ③/②，得：log(c)(b)/log(a)(b)=n=log(c)(a)∴log(a)(b)=log(c)(b)/log(c)(a) 注：log(a)(b)表示以a为底x的对数。 换底公式拓展： 以e为底数和以a为底数的公式代换： logae=1/（lna） HYPERLINK /picview/1829610/1829610/0/1899a23e8f6e68c1828b13b3.html \o 查看图片 \t _blank ?? 推导公式 log(1/a)(1/b)=loga(b) loga(b)*logb(a)=1 求导数 (logax)=1/xlna 特殊的即a=e时有 (logex)=(lnx)=1/x