第四章数值积分与数值微分-(精选·公开·课件).ppt

第四章 数值积分 与数值微分  或写成: 定理 若f(x)?C[a,b],则Gauss型求积公式所求积分 值序列 收敛于积分值I(f), 即 定理 Gauss型求积公式的求积系数都大于零，从而Gauss型求积公式是数值稳定的。 五、高斯型积分 具有2n+1次代数精度的插值型求积公式 节点称为Gauss 点 称为Gauss 型求积公式。 注：Gauss型求积公式是代数精度最高的插值型求积公式 . 事实上，对于插值型求积公式 其代数精度最高可达到2n+1次(Gauss型求积公式）。 考虑2n+2次多项式 ， 其中， 而 故 高斯型求积公式的构造 将节点 以及系数 都作为待定系数。 并令求积公式对 精确成立 可得非线性方程组 1、待定系数法 求解该方程组即可得相应的求积节点与求积系数。 例：求 的 2 点 Gauss 公式。 解：设 ，应有 3 次代数精度。 ? + ? 1 0 1 1 0 0 ) ( ) ( ) ( x f A x f A dx x f x 令上述公式对f (x) = 1, x, x2, x3 精确成立可得 不是线性方程组，不易求解。 定理： 　　　 x0 … xn 为 Gauss 点 ? 与任意次数不大于n 的多项式 P (x) （带权）正交。 证明： “?” x0 … xn 为 Gauss 点, 则公式 至少有 2n+1 次代数精度。 对任意次数不大于n 的多项式 Pm(x)， Pm(x) w(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立： = 0 0 ? 求 Gauss 点 ? 求w(x) 2、正交多项式法 不大于 的多项式 精确成立，即证明： “?” 要证明 为 Gauss 点， 即要证公式对任意次数 设 0 ? ? 正交多项式族{ ?0, ?1, …, ?n, … }有性质：任意次数不大于n 的多项式 P(x) 必与?n+1 正交。 若取 w(x) 为其中的?n+1，则?n+1的根就是 Gauss 点。 ? ? 5 3 - = a 0 ) ( 1 0 = + ? dx a x x 0 ) , ( 1 0 = j j ? ? = + + - ? = = + + ? = 1 0 2 1 1 0 2 2 0 0 ) )( 5 3 ( 0 ) , ( 0 ) ( 0 ) , ( dx c bx x x x dx c bx x x j j j j 21 5 9 10 = - = c b 即： Step 1：构造正交多项式?2 设 c bx x x a x x x + + = + = = 2 2 1 0 ) ( , ) ( , 1 ) ( j j j 再解上例： ? + ? 1 0 1 1 0 0 ) ( ) ( ) ( x f A x f A dx x f x Step 2：求?2 = 0 的 2 个根，即为 Gauss 点 x0 ，x1 Step 3：代入 f (x) = 1, x 以求解 A0 ，A1 解线性方程组，简单。 结果与前一方法相同： ? 利用此公式计算 的值 注：构造正交多项式也可以利用 L-S 拟合中介绍过的递推式进行。 ? 几种常用的Gauss型求积公式： ① Gauss-Legendre 求积公式： 1 ) ( ? x r 定义在[?1, 1]上， 满足： ，递推公式： 其中，求积节点为 Pn+1 的根（求积系数通过解线性方程组得到）。 Legendre多项式： Gauss-Legendre 公式： 区间[a,b]上的Gauss-Legendre 公式： 其中， 为 n+1次Legendre多项式Pn+1 的根。 ② Gauss-Chebyshev 求积公式： 2 1 1 ) ( x x - = r 定义在[?1, 1]上， Tn+1 的根为： k = 0, …, n 以此为节点构造公式 称为 Gauss-Chebyshev 公式。