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导数的运算-家教讲义
美博教育 1对1个性化 辅导教案提纲 教研组:
学生姓名
年级
科目
教师
授课日期
时段与课时
高二
数学
2013.12.15
教学 课题
变化率与导数
目标及重难点
瞬时变化率和导数关系、导数的几何意义的理解
教学过程:
一、考纲分析,作业点评
二、考点分类解析
1、平均速度与瞬时速度
2、函数的平均变化率和瞬时变化率
3、导数的概念
4、导数和导函数的定义
5、导数的几何意义(导数与切线斜率)
针对性题型练习
课堂小结
备注:
作业布置
详见讲义课后针对性作业
学习反馈及调整方案
班主任签字:
学员评价
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差
学员签字:
教师评价
上次课作业: ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
本次课堂表现: ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
教师签字:
美博教育 肖晨星1对1 辅导讲义
课 题
变化率和导数
教学内容
知识点一
函数的平均变化率和瞬时变化率
1、函数的平均变化率:当自变量从变为,函数值从变为 ,它的平均变化率为 ,用它可以刻画 。
2、通过减小自变量的改变量,用平均变化率“逼近”瞬时变化率:
对平均速度而言,当时间的改变量趋于0(无限缩小)时,比值会趋于一个定值,这个定值称为时的瞬时速度,这是我们在物理学里已经熟知的。
类此,我们可以概括出一般函数的瞬时变化率:在自变量从变为的过程中,若设,,则函数的平均变化率又可表示为 .
当趋于0时,平均变化率就趋于函数在点的瞬时变化率,瞬时变化率刻画的是 。
3、平均变化率量化一段曲线的陡峭程度是“粗糙不精确的”,但应注意当很小时,这种量化便有由“粗糙”逼近“精确”的趋势。
题型分析:
平均速度:
例1:物体自由落体的运动方程为,计算t从3s到3.1s,3.01s,3.001s各段时间内的平均速度(位移s的单位为m)
瞬时速度:
设物体运动的位移与时间的关系是,当趋近于0时,函数在到这段时间内的平均变化率趋近于常数,我们把这个常数称为时刻的瞬时速度。
例2:物体自由落体的运动方程是,求物体在这一时刻的速度。
平均变化率:
例1 在经营某商品中,甲挣到10万元,乙挣到2万元,如何比较和评价甲,乙两人的经营成果?
变式1 在经营某商品中,甲用5年时间挣到10万元,乙用5个月时间挣到2万元,如何比较和评价甲,乙两人的经营成果?
变式2求函数在区间内的平均变化率
瞬时变化率:
例3 某个物体走过的路程(单位:m)是时间(单位:s)的函数:,通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度:(1);(2);(3).
例4、已知函数
(1)当从1变为2时,函数值改变了多少?此时函数值关于的平均变化率是多少?
(2)当从-1变为1时,函数值改变了多少?此时函数值关于的平均变化率是多少?
(3)这个函数变化的快慢有何特点?求这个函数在处的瞬时变化率。
例5、设质点做直线运动,已知路程是时间的函数。
(1)求从到的平均速度,并求当时的平均速度;
(2)求当时的瞬时速度。
例6、求函数在处的瞬时变化率
知识点二
导数的概念
复习:设函数,当自变量x从x0变到x1时,函数值从变到,函数值y关于x的平均变化率
当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值(这个值称为:当x1趋于x0时,平均变化率的极限),那么这个值就是函数在点x0的瞬时变化率。
导数的定义:
在数学上,称瞬时变化率为函数在点x0的导数,通常用符号表示,记作
。
例1、一条水管中流过的水量y(单位:)是时间x(单位:s)的函数。求函数在x=2处的导数,并解释它的实际意义。
例2、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作,生产的食品量y(单位:kg)是其工作时间x(单位:h)的函数。假设函数在x=1和x=3处的导数分别为和,试解释它们的实际意义。
例3、服药后,人体血液中药物的质量浓度y(单位:μg/mL)是时间t(单位:min)的函数,假设函数在t=10和t=100处的导数分别为和,试解释它们的实际意义。
总结:利用导数的定义求函数的导数的方法步骤:
知识点三
导数的几何意义
设函数在[x0,x0+Δx]的平均变化率为,如右图所示,它是过A(x0,)和B(x0+Δx,)两点的直线的斜率。这条直线称为曲线在点A处的一条割线。
如右图所示,设函数的图像是一条光滑的曲
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