1991考研数二真题与解析.doc

1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1) 设,则＿＿＿＿＿＿. (2) 曲线的上凸区间是＿＿＿＿＿＿. (3) ＿＿＿＿＿＿. (4) 质点以速度米每秒作直线运动,则从时刻秒到秒内质点所经过的路程等于＿＿＿＿＿＿米. (5) ＿＿＿＿＿＿. 二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 若曲线和在点处相切,其中是常数,则 ( ) (A) (B) (C) (D) (2) 设函数记,则 ( ) (A) (B) (C) (D) (3) 设函数在内有定义,是函数的极大点,则 ( ) (A) 必是的驻点 (B) 必是的极小点 (C) 必是的极小点 (D) 对一切都有 (4) 曲线 ( ) (A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线 (C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (5) 如图,轴上有一线密度为常数,长度为的细杆,有一质量为的质点到杆右端的距离为,已知引力系数为,则质点和细杆之间引力的大小为 ( ) (A) (B) (C) (D) 三、(每小题5分,满分25分.) (1) 设,求. (2) 计算 . (3) 求 . (4) 求 . (5) 求微分方程满足的特解. 四、(本题满分9分) 利用导数证明：当时,有不等式成立. 五、(本题满分9分) 求微分方程的通解. 六、(本题满分9分) 曲线和轴围成一平面图形,求此平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体的体积. 七、(本题满分9分) 如图,和分别是曲线和上的点,和均垂直轴,且 ,,求点和的横坐标,使梯形的面积最大. SHAPE \* MERGEFORMAT 八、(本题满分9分) 设函数在内满足,且, 计算. 1991年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.) (1)【答案】 【解析】由复合函数求导法则,即的微分为,有 . (2)【答案】 【解析】求函数的凹凸区间,只需求出,若,则函数图形为上凹,若 ,则函数图形为上凸,由题可知 . 因为,所以当时,函数图像上凸,即时, 函数图像上凸.故曲线上凸区间为. (3)【答案】 【解析】用极限法求广义积分. . (4)【答案】 【解析】这是定积分的应用. 设在时刻的速度为,则在时间内的路程为,所以从时刻秒到秒内质点所经过的路程为 . (5)【答案】 【解析】这是一个型未定式,分子分母同乘以,得 . 为简化计算,令,则,原式可化为 . 二、选择题(每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(D) 【解析】两函数在某点处相切,则在该点处的切线的斜率相等,即在该点处的导数相等, 对两函数分别对求导,得 ,则该曲线在点处的导数为, ,即,则曲线在点处的导数为 , 两导数相等,有,即. 又因为曲线过点,所以有. 所以选项(D)正确. (2)【答案】(B) 【解析】这是分段函数求定积分. 当时,,所以. 当时,, 所以 . 所以,应选(B). (3)【答案】(B) 【解析】方法一：用排除法. 由于不可导点也可取极值,如,在处取极大值,但是不是的驻点,所以(A)不正确； 注意到极值的局部性,即极值不是最值,所以(D)也不正确； 对于,在处取极大值,但并非是的极小值点,所以(C)也不成立；故选(B). 方法二：证明(B)是正确的,因为,不妨设,则为极大值,则在的某个领域内有； 函数与函数关于原点对称,所以必有,即在的某个领域内为极小值,故(B)是正确的. (4)【答案】(D) 【解析】函数的定义域为,所以函数的间断点为, ,所以为铅直渐近线, ,所以为水平渐近线. 所以选(D). 【相关知识点】铅直渐近线：如函数在其间断点处有,则是函数的一