2016年高中自主招生数学模拟试题与答案.doc

PAGE PAGE 1 唐山市 唐山一中 自主招生测试题 一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.四个实数中，每三个数的和分别为，则这四个实数的积是 2.若实数满足，则的值是 ABCDE3.如图，三角形的面积为，点、分别在边、上，，且，则三角形面积的最大值是 A B C D E 4.若关于的方程有四个实数解，则化简的结果是 ACBDFE5.若非零的实数满足等式，则 A C B D F E 6.如图，在直角三角形中，，是斜边上一动点，，，垂足分别是，当的长最小时， 7.多项式被除的余式是 8.已和是互不等的实数，三个方程①; ②;③中，①②有公共根，②③有公共根，③①有公共根，则 9.我们有一个结论：对于任何一个正整数，若是偶数，将其减半；若是奇数，将其乘以加，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到.如正整数，按上述规则变换后，可得一列数：.如果正整数按上述变换后的第个数是（是第个数，可多次出现），则的所有可能值的个数是 10.如图的一个无穷数表，其中2014在表中出现的次数是 2 3 4 5 6 … 3 5 7 9 11 … 4 7 10 13 16 … 5 9 13 17 21 … 6 11 16 21 26 … … … … … … … 二、解答题（本大题5小题，共70分） yxPABOl11.（本题满分12分）已知点，函数的图象是直线，点在上，满足是钝角，试求的取值范围. y x P A B O l 12.（本题满分12分）已知关于的函数的图象与轴有交点. （1）求的取值范围； （2）若函数图象与轴有两个不同的交点，且.试求的值，并根据图象指出当时，函数的最大值和最小值. AEBCDF13.（本题满分12分）如图，点是三角形外接圆上一点，的延长线交过点的切线于点.若，∥，，，求的长. A E B C D F 14.（本题满分16分）如图，点在以为直径的⊙上，过点、作圆的切线交于点，点是的中点，求证：. C C A B P Q O 15.（本题满分18分）编号为的张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的15号卡片给乙后，甲手中卡片编号的平均数增加，乙手中卡片编号的平均数也增加，求原来甲、乙手中各有多少张卡片，并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数. 试题及解答 一、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.四个实数中，每三个数的和分别为，则这四个实数的积是 解：这四个实数的和为，所以这四个数分别是，即，其积是. 2.若实数满足，则的值是 解：去分母得，移项得. 设，则方程变为，∴或（舍去）. ABCDE由得，所以 A B C D E 3.如图，三角形的面积为，点、分别在边、上，，且，则三角形面积的最大值是 解：∵ ， ∴三角形面积的最大值是. 4.若关于的方程有四个实数解，则化简的结果是 解：显然. 若，则方程可变为，方程最多两解，不合题意，所以. 方程可化为. 当时，方程可化为，有两解，不合题意. 当时，,有三解，不合题意. 当时，方程有四解，符合题意. 故.从而. 5.若非零的实数满足等式，则的值是 解：若，则，于是； 若，则，于是； 若且，则由得；由得，矛盾. 故且. 于是，可令，所以 ACB A C B D F E 6.如图，在直角三角形中，，是斜边上一动点，，，垂足分别是，当的长最小时， 解：连结，则，所以的长最小时即为的长最小，此时,于是，所以. 7.多项式被除的余式是 解：，所以余式是. 8.已和是互不等的实数，三个方程①; ②;③中，①②有公共根，②③有公共根，③①有公共根，则 解：由，得，，∴. 同理，. ∴. 又互不相等，如，则①③的公共根，于是，从而，代入①②③有，三式相加得，矛盾. 由上述结论可知，①的两根为；②的两根为；③的两根为. 由根与系数关系，有，故. 9.我们有一个结论：对于任何一个正整数，若是偶数，将其减半；若是奇数，将其乘以加，不断重复这样的过程，经过若干步后，一定可以得到.如正整数，按上述规则变换后，可得一列数：.如果正整数按上述变换后的第个数是（是第个数，可多次出现），则的所有可能值的个数是 124 1 2 4 16 8 1 2 32 4 64 10 8 1 128 21 20 3 16 2 5 ∴的所有可能值的个数是. 10.如图的一个