群论讲义.pdf

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群论讲义

第一章 抽象群基础 §1.1 群 【定义1.1】 G 是一个非空集合,G = {…,g,…},“· ” 为定义在任意两个元素之间 的二元代数运算(乘法运算) ,若 G 及其运算满足以下四个条件: ∀ ∈ ∈ (1)封闭性: f, g G, f ·g=h, 则 h G; (2 )结合律:∀f, g, h ∈G,(f ·g )·h =f ·(g ·h); (3 )有单位元: ∈ ∀ ∈ ∃e G, f G, f ·e =e ·f =f; (4 )有逆元素:∀ ∈ -1 ∈ -1 -1 f G,∃f G, 使f ·f = f ·f = e; 则称 G 为一个群,e 为群 G 的单位元,f --1 为f 的逆元。 ·系1. e 是唯一的。 若 e、e ´ 皆为 G 的单位元,则 e ·e ´= e´,e ·e ´= e,故 e ´= e 。 ·系2. 逆元是唯一的。 若存在f 的两个逆元f ´=f,则 f f ⋅e f ⋅(f ⋅f) (f ⋅f) ⋅f e ⋅f f , 即f f ·系3 e –1 = e –1 -1 –1 e = e ·e = e, 即:e = e 。 ∀ ∈ ·系4 若群 G 的运算还满足交换律, f ,g G, 有f ·g=g ·f , 则称 G 为交换群,或阿贝 尔群。 群是我们定义的一种抽象结构,具有一般性,它象一个空筐子,可以装入各种具有相同抽 象结构的实际对象。通过研究抽象结构的一般性质,就可以掌握各种实际对象的性质。 例 1.1 整数集{z}及其上的加法+ 单位元为 0, 逆元 z-1 = -z,构成整数加法群。 例 1.2 实数集 R ,运算为加法: ∀ ∈ –1 单位元 e = 0, 逆元: a R ,a = -a,构成加群。 若运算为数乘,R 不构成群,0 -1 不存在。 不过不包含 0 的所有实数R/0 ,构成乘法群,单位元 e =1, 逆元: ∀a ∈ R/0, a-1= 1a 例 1.3 空间反演群{E ,I},元素为对向量的变换: Er r, Ir −r 运算定义为群元对向量由右到左的相继作用: EEr Er r , EE E E I EIr E (−r ) −r Ir , EI I E E I I I E 2 IIr I (−r ) r Er I E 。 乘法表如右: 例 1.4 R3 中绕一固定轴的所有转动操作够成一个群,两个转动操作的二元运算为两操作 的相继转动。 群元: C (α) , n 为转轴,α为转角,乘法:C (α) ⋅C (β )C (α+β) n n n n

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