费马引理与罗尔中值定理-(精选·公开·课件).ppt

第三章 微分中值定理及其应用 3.1 费尔马引理与函数最值 3.2 罗尔中值定理及应用 一、费马引理 (费马引理) 如果对 有 则 设 f (x)在点 的某邻域 内有定义, 且在 处可导, 注：导数为零的点称为函数的驻点. 证 设对于 有 由极限的保号性, 推论 (最值的必要条件) 设 如果 存在, 如果 在[a, b]上连续, 则 在[a, b]上一 定有最大值和最小值. 由最值的必要条件, 最大、最小值点只可能 是的驻点、不可导点或区间的端点. 求函数最大值与最小值的一般步骤: 1. 求驻点和不可导点; 2. 求出区间端点及驻点和不可导点的函数值, 比较大小, 其中最大者就是最大值,最小者就 是最小值; 3. 在实际问题的应用中, 问题本身可以保证目标 函数的最大值或最小值一定存在, 我们通常用这 种思想求取应用问题的最值. 例1 求函数 在[-1, 4]上的最大值 解 计算 与最小值. (-1, 4)内驻点 比较得, 最大值 最小值 解 得 例2 求内接于球的圆柱体的最大体积, 设球的 半径 R. 设圆柱体的高为2h, 底半径为 r, 体积为V, 圆柱体的最大体积一定存在, 故唯一驻点 就是最大值点, 最大体积为 令 得 (舍去负值) 唯一驻点, 定理3.2 (罗尔定理) (1) 在闭区间[a, b]上连续; (2) 在开区间(a, b)内可导; (3) 使得 3.2 罗尔中值定理及其应用 证 若函数 f (x) 满足: 必有最大值M和最小值m. 由费尔马引理 推论: 可微函数 的任意两个零点之间至少有 的一个零点． 若定理条件不全具备, 结论不一定成立. 注 例1 证明 是方程 的唯一实根. 证 矛盾. 由罗尔定理, 原命题得证. 使得 对可导函数 f(x), 之间, 在方程f (x)=0的两实根 推论 至少存在方程 的一个实根. 例 证 例2 设常数 满足: 试证方程 分析： 注意到 在(0, 1)内存在一个实根. 证 设 且 由罗尔定理 即 在(0, 1)内可导, 在[0, 1]上二阶可导, 且 则在 内至少存在一点 例3 若 证 使得 使得 上使用罗尔定理, 使得 使用罗尔定理, 两种常用的构造辅助函数的方法： 1. 常数k 法构造函数 基本思路是令待证等式中的常数为k， 通过 恒等变形将含有的式子写成 的形式， 然后用罗尔定理 则 就是需要的辅助函数, 进行证明. 例4 设 分析 证 令 罗尔定理, 整理得 使得 故 即 2. 通过对待证等式的恒等变形寻找辅助函数 然后再观察所得函数是哪个函数的导数，这个函数 就是我们需要的辅助函数. 因为等式中出现的中值 一定是对某个函数 使用中值定理得到的, 因此, 可以首先把 还原为 x， 如果待证等式出现 的形式， 则可以考虑形如 的辅助函数. 问题转化为证 设辅助函数 在[0, 1]上用罗尔定理, 使得 即有 例5 设 证 分析: 作业 习题 3.2(116页) 2. 3. 4. 5. 7.(1) 8.(1) 习题 3.1(111页) 1.(2)