专题13立体几何中的向量方法(易错起源)-2018高考数学(理)备考黄金易错点Word版含解析.docVIP

PAGE1 / NUMPAGES28 专题13立体几何中的向量方法 1.【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且. （1）证明：平面PAB⊥平面PAD； （2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）. 以为坐标原点， 的方向为轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系. 由（1）及已知可得， ， ， . 所以， ， ， . 设是平面的法向量，则 ，即， 可取. 设是平面的法向量，则 ，即， 可取. 则， 所以二面角的余弦值为. 2.【2017山东，理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点. （Ⅰ）设是上的一点，且，求的大小； （Ⅱ）当，，求二面角的大小. 【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）. 【解析】 （Ⅰ）因为， ， ， 平面， ， 所以平面， 又平面， 所以，又， 因此 （Ⅱ）以为坐标原点，分别以， ， 所在的直线为， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得 ， ， ，故， ， ， 设是平面的一个法向量. 由可得 取，可得平面的一个法向量. 设是平面的一个法向量. 由可得 取，可得平面的一个法向量. 所以. 因此所求的角为. 3.【2017北京，理16】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4． （I）求证：M为PB的中点； （II）求二面角B-PD-A的大小； （III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析：（Ⅱ） ；（Ⅲ） 【解析】 （I）设交点为，连接. 因为平面，平面平面，所以. 因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点. （II）取的中点，连接， . 因为，所以. 又因为平面平面，且平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为是正方形，所以. 如图建立空间直角坐标系，则， ， ， ， . 设平面的法向量为，则，即. 令，则， .于是. 平面的法向量为，所以. 由题知二面角为锐角，所以它的大小为. （III）由题意知， ， . 设直线与平面所成角为，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 4.【2017天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2. （Ⅰ）求证：MN∥平面BDE； （Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值； （Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长. 【答案】 （1）证明见解析（2） （3） 或 【解析】如图，以A为原点，分别以， ， 方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）. （Ⅰ）证明： =（0，2，0），=（2，0， ）.设，为平面BDE的法向量， 则，即.不妨设，可得.又=（1，2， ），可得. 因为平面BDE，所以MN//平面BDE. （Ⅲ）解：依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得， .由已知，得，整理得，解得，或. 所以，线段AH的长为或. 5.【2017江苏，22】 如图， 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=， . （1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A1D-A的正弦值. 【答案】（1）（2） 【解析】在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E. 因为AA1平面ABCD， 所以AA1AE，AA1AD. 如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz. 因为AB=AD=2，AA1=， . 则. (1) ， 则. 因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为. (2)平面A1DA的一个法向量为. 设为平面BA1D的一个法向量， 又， 则即 不妨取x=3，则， 所以为平面BA1D的一个法向量， 从而， 设二面角B-A1D-A的大小为，则. 因为，所以. 因此二面角B-A1D-A的正弦值为. 6.【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是． （ = 1 \* ROMAN I）证明：平面ABEF平面EFDC； （ = 2 \* ROMAN II）求二面角E-BC-A的余弦值． 【答案】（ = 1 \* ROMAN I）见解析（ = 2 \* ROMAN II） 【解析】 （Ⅰ）