对勾函数详细分析解析.docVIP

PAGE1 对勾函数的性质及应用 一.对勾函数的图像与性质： 定义域：（-∞，0）∪（0，+∞） 值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个 “对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心 对称，即 图像在一、三象限, 当时，2√ab（当且仅当取等号），即在x=时，取最小值 由奇函数性质知：当x0时，在x=时，取最大值 单调性：增区间为（），（）,减区间是（0，），（,0） 对勾函数的变形形式 类型一：函数的图像与性质 1.定义域： 2.值域：(-∞,-√ab]U[√ab,+∞) 3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状. 4.图像在二、四象限, 当x0时，在x=时，取最小值；当时，在x=时，取最大值 单调性：增区间为（0，），（,0）减区间是（），（）, 类型二：斜勾函数 = 1 \* GB3①作图如下 1.定义域： 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）. = 2 \* GB3②作图如下： 1.定义域： 2.值域：R 3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值. 5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）. 类型三：函数。 此类函数可变形为，可由对勾函数上下平移得到 练习1.函数的对称中心为 类型四：函数 此类函数可变形为，则可由对勾函数左右平移，上下平移得到 练习 1.作函数与的草图 2.求函数在上的最低点坐标 3. 求函数的单调区间及对称中心 类型五：函数。此类函数定义域为，且可变形为 = 1 \* alphabetica.若，图像如下： 定义域： 2. 值域： 3. 奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限.当时，在时，取最大值，当x0时，在x=时，取最小值 5. 单调性：减区间为（），（）；增区间是 练习1.函数的在区间上的值域为 = 2 \* alphabeticb. 若，作出函数图像： 定义域： 2. 值域： 3. 奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限. 当时，在时，取最小值， 当x0时，在x=时，取最大值 5. 单调性：增区间为（），（）；减区间是 练习1.如，则的取值范围是 类型六：函数.可变形为， 则可由对勾函数左右平移，上下平移得到 练习1.函数由对勾函数向 （填“左”、“右”）平移 单位，向 （填“上”、“下”）平移 单位. 2.已知 ，求函数的最小值； 3.已知 ，求函数的最大值 类型七：函数 练习1.求函数在区间上的最大值；若区间改为则的最大值为 2.求函数在区间上的最大值 类型八：函数.此类函数可变形为标准形式： 练习1.求函数的最小值； 2．求函数的值域； 3.求函数的值域 类型九：函数。此类函数可变形为标准形式： 练习 1.求函数的最小值； 2. 求函数的值域 三、关于求函数最小值的十种解法 1. 均值不等式 ，，当且仅当，即的时候不等式取到“=”。当的时候， 2. 法 若的最小值存在，则必需存在，即或（舍） 找到使时，存在相应的即可。通过观察当的时候， 3. 单调性定义 设 当对于任意的，只有时，，此时单调递增； 当对于任意的，只有时，，此时单调递减。 当取到最小值， 4. 复合函数的单调性 在单调递增，在单调递减；在单调递增 又 原函数在上单调递减；在上单调递增 即当取到最小值， 5. 求一阶导 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增。 当取到最小值， 6. 三角代换 令，，则 当，即时，，，显然此时 7. 向量 ， 根据图象，为起点在原点，终点在图象上的一个向量，的几何意义为在上的投影， 显然当时，取得最小值。此时，， 8．图象相减 ，即表示函数和两者之间的距离 求，即为求两曲线竖直距离的最小值 平移直线，显然当与相切时，两曲线竖直距离最小。 关于直线轴对称，若与在处有一交点，根据对称性，在处也必有一个交点，即此时与相交。显然不是距离最小的情况。 所以，切点一定为点。 此时，， 9.平面几何 依据直角三角形射影定理，设，则 显然，为菱形的一条边，只用当，即为直线和之间的距离时，取得最小值。即四边形为矩形。 此时，，即， 10. 对应法则 设 ，，对应法则也相同 左边的最小值右边的最小值 （舍）或 当，即时取到最小值，且 对勾函数练习： 1．若 x1.求的最小值. 11.若在上恒成立，则的取值范围是 2. 若 x1. 求的最小值 12. 求函数的最值。 3.