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PAGE PAGE 6 2.3 幂 函 数 一、幂函数的概念 1、幂函数的概念：一般地，函数f(x)＝叫做幂函数，其中x是自变量， 是常数。 注意：（1）系数为1；（2）底数是自变量x；（3）指数为常数。 例1：判断下列函数哪些是幂函数：①y＝4x ②y＝x4 ③y＝－4x ④y＝ ⑤y＝x ⑥y＝ ⑦y＝(2－1)x (＞且≠1) 【解析】：（2）（3）（5） 例2：已知幂函数f(x)的图象经过点(2，)，则f(4)的值为(　　) A：16 B： C： D：2 【解析】：C 变式练习：幂函数f(x)的图象过点(4，)，且f(x)＝8，则x＝( ) A： B：64 C： D： 【解析】：D 2、幂函数的图象 在同一平面直角坐标系内的幂函数f(x)＝ 当＝3，2，1，，，－1，－2的图象 幂函数在第一象限的图象特征： （1）＞1，图象过(0，0)，(1，1)，下凸递增。 （2）0＜＜1，图象过(0，0)，(1，1)，上凸递增。 （3）＜0，图象过点(1，1)，下凸递减，且向两坐标轴无限逼近。 例3：指出下列函数的定义域、值域、奇偶性、单调性。 （1）f(x)＝ （2）g(x)＝ （3）h(x)＝ （4）r(x)＝ 变式练习：函数g(x)＝的定义域为（ ） A：(－∞，＋∞) B：(－∞，0)∪(0，＋∞) C：(－∞，0) D：(0，＋∞) 【解析】：B 例4：比较下列各组数的大小 （1） ， （2）， 【解析】：＜ ＞ 变式练习1：实数，，的大小关系用“＜”顺次连接是_________。 【解析】：＜＜ 变式练习2：设∈(－1，0)，则下列不等式中正确的是（ ） A：＞＞ B：＞＞ C：＞＞ D：＞＞ 【解析】：B 例5：当x∈(1，＋∞)时，幂函数y＝的图象恒在y＝x的下方，则的取值范围是（ ） A：0＜＜1??? B：＜1 C：＞0???? D：＜0 【解析】：B 变式练习1：函数f(x)＝(n∈N，n＞2)的图象只可能是（ ） 【解析】：C 变式练习2：幂函数y＝，y＝，y＝的图象如下图所示，则（ ） A：m＞n＞p?? B：m＞p＞n C：n＞p＞m? ? D：p＞n＞m 【解析】：A 变式练习3：幂函数y＝(m、n∈N，且m、n互质)的图象如下图所示则（ ） A：m为奇数，n为偶数，＜1 B：m、n均为奇数，＜1 C：m为奇数，n为偶数，＞1 D：m为偶数，n为奇数，＜1 【解析】：A 例6：已知幂函数f(x)＝ (m∈N＋) （1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； （2）若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－)＞f(－1)的实数的取值范围。 【解析】：（1）m2＋m＝m(m＋1)，则m与(m＋1)中必有一个为偶数，则m2＋m为偶数，故定义域，在定义域内为增函数；（2）若该函数还经过点(2，)，则m2＋m＝2 ，m＝1 或m＝－2，m∈N＋，m＝1，∴f(x)＝，函数f(x)在是增函数，故 1≤＜ 变式练习1：已知函数f(x)＝ (m∈N＋)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足的的范围。 【解析】：函数f(x) 在(0，＋∞)减函数，故3m－9＜0，m＜3，m∈N＋，m可取1、2、3，又因为f(x)偶函数，故m＝1；，则。 则(＋1)＞(3－2)＞0或(3－2)＜(＋1)＜0，得＜＜或＜－1 课 后 综 合 练 习 1、下列函数中，是幂函数的是（ ） A： B： C： D： 【解析】：D 2、在函数y＝eq \f(1,x2)，y＝3x3，y＝x2＋2x，y＝x－1，y＝x2中，幂函数有 (　 　) A：1个 B：2个 C：3个 D：4个 【解析】：B 3、若幂函数在第一象限内的图象如图所示，则的取值可能为 (　　) A：－1 B：2 C：3 D： 【解析】：D 4、幂函数 在第一象限的图象如图所示，则，b，c，d 的大小关系是 (　 　) A：＞b＞c＞d B：d＞b＞c＞ C：d＞c＞b＞ D：b＞c＞d＞ 【解析】：D 5、已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则f(4)的值为 (　 　) A：16 B：2 C：