例谈解析几何多元方程组问题的计算策略.doc

例谈解析几何多元方程组问题的计算策略 　解析几何涉及到复杂的计算问题，这些计算问题主要是多元方程组的解法问题, 下面我们以一道高考题为例探讨解析几何中方程组的解法. 　原题:双曲线与椭圆有相同的焦点，直线为的一条渐近线. (1)求双曲线的方程. (2)过点的直线交双曲线于、两点，交轴于点（点与的顶点不重合）. 当,且时,求点的坐标. 解:(1)设双曲线方程为(). 由题意: ，,∴,. ∴双曲线的方程为. (2)解法一：由题意知直线的斜率存在且不为零. 设直线的方程为:,则可求. 设,, ∵, ,， ∴ ∴ ∵ )在双曲线上, ∴ ， ∴ . 同理有: 若,则, 过顶点,不合题意, ∴， ∴,是一元二次方程的两个根, ∴ ,∴，验知, ∴， ∴ 所求点的坐标是. 仔细分析上面的解法,我们发现本题中涉及7个未知数,它们是: . 上面的解法先把作为一组,构建关于的一元二次方程,再把作为一组,构建关于的一元二次方程,由于这两个运算过程完全相同, 两个一元二次方程也完全相同,因此,是同一个一元二次方程的两个根,然后就可以利用一元二次方程的根与系数的关系了. 本题第（2）问我们一般采用下面的解法,但是比上面的解法计算量还要大,具体过程如下: 解法二：把代入双曲线的方程为并整理得： ， 当时，直线与双曲线只有一个交点，不合题意，故 ∴,. 由已知 ， (1) , (2) 又， 故由(1)得: , 由(2)得: ， ∴ , 解得：，验知, ∴，∴所求Q点的坐标是(2,0). 如果考虑结论中涉及到的+怎样用表示,刚才提供的解法二可以演变为下面的解法： 解法三： ,然后把,， 代入上式化简得: ，解得：，验知, ∴， ∴所求Q点的坐标是(2,0) 三种解法的内在联系: 前面已经谈到本题共涉及到7个未知数,事实上,由已知, 我们有以下9个方程组成的方程组,它们是: (1) (5) (2) (6) (9) (3) (7) (4) (8) 仔细分析题意,不难发现用(1)(2)可以导 出(3), 用(5)(6)可以导 出(7),因此上面的9个方程实际上等价于7个独立的方程. 为了求出，需要通过合理的消元，解法一利用(1)、(2)、(4)、 (5)、(6) 、(8)、 (9) 这7个方程组成的方程组；解法二、三利用(1)、(3)、(4)、 (5)、(7) 、(8)、 (9) 这7个方程组成的方程组.以上这些方程中,下标为1的未知数为一类, 下标为2的未知数为另一类,这两类未知数涉及到的方程具有共同的形式,已知的第（9）个方程不但起着联系这两类未知数的作用,而且是两个未知数的和的形式.解法一之所以比解法二、三简单一些,就是因为利用了这个特点.当涉及到的方程不具备这个特点时,我们就很难使用解法一这种构造一元二次方程的消元策略了,这时候我们一般利用解法二的消元策略. 巩固练习： １．已知椭圆的短轴长为，右焦点与抛物线的焦点重合，为坐标原点． （１）求椭圆的方程； （２）设、是椭圆上的不同两点，点，且满足，若，求直线的斜率的取值范围．　 参考答案： 解法１　，、、三点共线，而， 且直线的斜率一定存在，所以设的方程为， 与椭圆的方程联立得， 由，得． 设,, 又由得， ， 把③代入①②得， 消去得： ， 当时，是减函数， ， ， 解得，又，所以， 的取值范围是. 解法２　设,,则 又，，则 由得得 代入得， 由得，联立⑤消去得： ， 这实际上是关于的一元一次方程，解得：， 而，， 把代入上并化简得， 令，则在是减函数，且， 而在是减函数， 当时，，当时，， 的取值范围是.