函数模型及其应用讲义.docVIP

第十节函数模型及其应用 [知识能否忆起] 1．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 2.三种增长型函数模型的图象与性质 函数 y＝ax(a1) y＝logax(a1) y＝xn(n0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x增大逐渐表现为与y轴平行 随x增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而不同 [小题能否全取] 1．(教材习题改编)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f(x)g(x)h(x) B．g(x)f(x)h(x) C．g(x)h(x)f(x) D．f(x)h(x)g(x) 答案：选B　由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)f(x)h(x)． 2．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的(　　) 解析：选B　由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B. 3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq \f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为(　　) A．36万件　　　　　　　　 B．18万件 C．22万件 D．9万件 解析：选B　利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq \f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值． 4．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数x(0x≤m)的函数，其关系式y＝f(x)可写成___________________________． 解析：依题意有y＝a(1－p%)x(0x≤m)． 答案：y＝a(1－p%)x(0x≤m) 5.有一批材料可以建成200 m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为______________．(围墙厚度不计) 解析：设矩形的长为x m，宽为eq \f(200－x,4) m，则S＝x·eq \f(200－x,4)＝eq \f(1,4)(－x2＋200x)．当x＝100时，Smax＝2 500 m2. 答案：2 500 m 　 1.解答函数应用题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下： 2．解函数应用题常见的错误 (1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面； (2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件． 一次函数与二次函数模型 典题导入 [例1]　为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝eq \f(1,2)x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元． 该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ [自主解答]　设该单位每月获利为S， 则S＝100x－y ＝100x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2－200x＋80 000)) ＝－eq \f(1,2)x2＋300x－80 000 ＝－eq \f(1,2)(x－300)2－35 000， 因为400≤x≤600， 所以当x＝400时，S有最大值－40 000. 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损． 由题悟法 1．在实际问题中，有很多问题的两变量之