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高中数学 抛物线 科厦教育项 PAGE PAGE 4 抛物线 1.抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线 2．推导抛物线的标准方程： 如图所示，建立直角坐标系系，设|KF|=（0）,那么焦点F的坐标为，准线的方程为， 设抛物线上的点M（x,y），则有 化简方程得 方程叫做抛物线的标准方程 （1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（,0），它的准线方程是 （2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：，，.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下 3．抛物线的准线方程：如图所示，分别建立直角坐标系，设出|KF|=（0），则抛物线的标准方程如下： (1), 焦点:，准线： (2), 焦点:，准线： (3), 焦点:，准线： (4) , 焦点:，准线： 相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即 不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为 （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号 例1 （1）已知抛物线标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程 　 （2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程 分析：（1）在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的，所以只要求出p即可； 　　（2）求的是标准方程，因此所指抛物线应过原点，结合焦点坐标求出p，问题易解。 解析：（1）p＝3，焦点坐标是（，0）准线方程是x＝－． （2）焦点在y轴负半轴上，＝2， 所以所求抛物线的标准议程是． 例2 已知抛物线的标准方程是（1）y2＝12x，（2）y＝12x2，求它的焦点坐标和准线方程． 分析：这是关于抛物线标准方程的基本例题，关键是（1）根据示意图确定属于哪类标准形式，（2）求出参数p的值． 解：（1）p＝6，焦点坐标是（3，0）准线方程是x＝－3． （2）先化为标准方程，，焦点坐标是（0，）， 准线方程是y＝－. 例3 求满足下列条件的抛物线的标准方程： （1）焦点坐标是F（－5，0） （2）经过点A（2，－3） 分析：抛物线的标准方程中只有一个参数p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出p值就可以写出其方程，但要注意两解的情况（如第（2）小题）. 解：（1）焦点在x轴负半轴上，＝5， 所以所求抛物线的标准议程是． （2）经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式： y2＝2px或x2＝－2py． 点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝ 点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝ ∴所求抛物线的标准方程是y2＝x或x2＝－y 例4 点M与点F（4,0）的距离比它到直线的距离小1，求点M的轨迹方程 解析：可知原条件M点到F（4，0）和到x＝－4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x＝－4为准线的抛物线．∴ 所求方程是 例5 斜率为1的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长 分析：思路一：解方程组，得交点的坐标，利用两点间距离公式解之 思路二：同思路一相同，但不解方程组，利用根与系数的关系，解之 思路三：利用根与系数关系及抛物线的定义来解之 思路四：利用弦长公式解之（以后给出） 解析：如图，由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为F(1，0)， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　所以直线AB的方程为 即 ① 将方程①代入抛物线方程，得 化简得 解这个方程，得 ， 将，代入方程①中，得 ， 即A,B的坐标分别是（，），（，） ∴ 另法：在图中，由抛物线的定义可知，|AF|等于点A到准线x=－1的距离|AD|，而|AD|=＋1．同理|BF|＝|BC|=＋1，于是得 |AB|=|AF＋|BF|=＋＋2． 由此可以看到，本题在得到方程后， 根据根与系数的关系可以直接得到 ＋＝6． 于是立即可以求出|AB|=6＋2=8． 例6已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值 解