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高等数学(同济第七版下)课后习题与解答.pdf
1. 设 u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用 a，b，c 表示 2u-3v.
解 2u-3v=2 （a-b+2c）-3 （-a+3b-c）
=5a-11b+7c.
2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平
行四边形 .
证 如 图 8-1 ， 设 四 边 形 ABCD 中 AC 与 BD 交 于 M ， 已 知
AM = MC ， DM MB .
故
AB AM MB MC DM DC .
即 AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形 ABCD是平行四边形.
1 2 3 4
3. 把△ABC 的 BC边五等分，设分点依次为 D ，D ，D ，D ，再把各
分点与点 A 连接 .试以 AB =c, BC=a 表向量 D A , D A , D A , D A .
1 2 3
4
证 如图 8-2 ，根据题意知
1 1 1
BD a, D D a, D D a,
1 1 2 2 3
5 5 5
1
D D a,
3 4
5
1
故 D A =- （ ）=- a- c
1 AB BD1
5
2
=- （ ）=- a- c
D A AB BD
2 2
5
3
=- （ ）=- a- c
D A AB BD
3 3
5
4
=- （ ）=- a- c.
D A AB BD4
4 5
4. 已知两点 M1 （0 ，1，2 ）和 M2 （1，-1 ，0）.试用坐标表示式表示
向量 M M 及-2 M M .
1 2 1 2
解 M M = （1-0，-1-1，0-2）= （1，-2，-2）.
1 2
-2 M M =-2 （1，-2 ，-2）= （-2，4，4 ）.
1 2
5. 求平行于向量 a= （6 ，7，-6）的单位向量 .
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