《常微分方程》例题解析.docVIP

习题1.2 1．=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：=2xdx 两边积分有：ln|y|=x+c y=e+e=cex另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e. 2. ydx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：ydx=-(x+1)dy dy=-dx 两边积分: -=-ln|x+1|+ln|c| y= 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= 3．= 解：原方程为：= dy=dx 两边积分：x(1+x)(1+y)=cx 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： dy=-dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： =- 令=u 则=u+x 代入有： -du=dx ln(u+1)x=c-2arctgu 即 ln(y+x)=c-2arctg. 6. x-y+=0 解：原方程为： =+- 则令=u =u+ x du=sgnx dx arcsin=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：= 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny== 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 +=0 解：原方程为：=e 2 e-3e=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：=ln 令=u ,则=u+ x u+ x=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln=cy. 10. =e 解：原方程为：=ee e=ce 11 =(x+y) 解：令x+y=u,则=-1 -1=u du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c 12. = 解：令x+y=u,则=-1 -1= u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13. = 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y-y)-dx+x=c xy-y+y-x-x=c 14: = 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(y+2y)-d(x+5x)=0 y+4y+x+10x-2xy=c. 15: =(x+1) +(4y+1) +8xy 解：原方程为：=（x+4y）+3 令x+4y=u 则=- -=u+3 =4 u+13 u=tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=(x+4y+1). 16:证明方程=f(xy),经变换xy=u可化为变量分离方程，并由此求下列方程： y(1+xy)dx=xdy = 证明： 令xy=u,则x+y= 则=-，有： =f(u)+1 du=dx 所以原方程可化为变量分离方程。 令xy=u 则=- (1) 原方程可化为：=[1+（xy）] (2) 将1代入2式有：-=(1+u) u=+cx 17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。 解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y’(x- x )+ y 则与x轴，y轴交点分别为： x= x - y= y - x y’ 则 x=2 x = x - 所以 xy=c 18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中 = 。 解：由题意得：y’= dy= dx ln|y|=ln|xc| y=cx. = 则y=tgx 所以 c=1 y=x. 19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y’=kx 则：y=kx +c 即为所求。