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经典力学回顾 经典力学的研究范围 牛顿定律及其推论 拉格朗日力学 哈密顿力学 哈密顿—雅克比方程 Schrodinger方程与H-J方程 经典力学的研究范围 经典力学是研究宏观物体低速机械运动规律的学科 宏观物体 低速运动 机械运动：物体的空间位置随时间的变化 物质 空间 时间 运动 牛顿定律及其推论 第一定律：惯性定律 第二定律：运动的变化与所受力成正比，方向与力的方向相同 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反 力学相对性原理 牛顿定律及其推论 牛顿定律的推理 动量定理和动量守恒定律 角动量定理和角动量守恒定律 动能定理和机械能守恒定律 拉格朗日力学 自由度为 s 的力学系统，性质可由拉格朗日函数决定 哈密顿力学 哈密顿正则方程 泊松括号和泊松定理 正则变换 哈密顿—雅克比方程 Schrodinger方程与H-J方程 把作用量看成积分上限坐标 的函数 计算作用量的变分 因此 作用量对广义坐标的偏导数为广义动量 按照作用量的定义，它沿轨道对时间的导数应为拉格朗日函数，即 另一方面，将作用量看成是末端坐标 q 和时间 t 的函数，有 比较上述二式，有 即 哈密顿—雅克比方程 是作用量所满足的一阶偏微分方程 可以确定力学体系的运动规律 因此，正则方程的解，可以看成相空间中的动点 和固定点 两点之间的正则变换，而主函数 S 正是这两点间正则变换的母函数。 由 可以看出，粒子的动量由作用量的梯度表示，故粒子的轨道应垂直于等 S 面 力学与光学的相似性 若哈密顿函数不显含时间，则H-J方程可分离变量 代回H-J方程 能量守恒体系的H-J方程 * 保守力系 机械能守恒 体系的实际运动轨迹由哈密度原理确定 体系的实际运动轨迹 在端点固定的条件下，令轨迹发生无限小变化， 要求 其中 哈密顿作用量（Hamilton Action） 由哈密顿原理可以导出体系的运动方程， 即拉格朗日方程， 哈密顿原理 例：取广义坐标 为笛卡尔坐标系中的 则 分别计算 代入拉格朗日方程，有 即为牛顿方程 令 则拉格朗日方程形式上与牛顿方程相同 关于拉格朗日方程的几点讨论： （1）在拉格朗日力学中，拉格朗日函数是一个标量，它给出了力学体系的全部信息； 而牛顿方程的建立，涉及矢量运算，较为复杂 （2）拉格朗日方程具有坐标变换不变性 而牛顿方程 只在笛卡尔坐标系中成立，坐标系改变方程的形式也改变 （3）在拉格朗日力学中更容易分析守恒量 循环积分，广义动量守恒 能量积分，广义能量守恒 （4）拉格朗日方程的应用范围比牛顿方程的更广 对于保守系拉格朗日方程为 其中 为体系动能 为体系势能 在力学中，势能一般与广义速度无关 拉格朗日方程可以写作 拉格朗日方程 从数学形式来看，如果定义形如 的广义力，则仍可得到形如 的拉格朗日方程， 只是拉格朗日函数变为 其中的 广义势, 或速度相关势 在经典电磁学中, 带电粒子在电磁场中所受的力是 电磁场的运动满足麦克斯韦方程，微分形式为 根据矢量分析，有恒等式 将第四个方程写为 带入第一个方程 根据矢量分析，有恒等式 定义一个标量函数 引入矢量势A(r,t)和标量势?(r,t) 带入洛仑兹力的表达式，则可得到 其中 这样，可定义广义势能 而广义力为 定义 L=T-U 所以, 仍有 这样, 拉格朗日力学也可以用来研究电磁运动等, 而不像牛顿力学那样只能研究机械运动. 如果x是循环坐标, 就是说L不包含x, 即?和A与x无关,则相应的动量px守恒, 即 注意: 此动量并不仅是粒子运动的动量, 还多出一项qAx, 多出的这项其实是电磁场的动量. 注意: 动量守恒的根据只在于x是循环坐标, 跟牛顿定律无关. 可见电磁场很难采用“牛顿方式”, 电磁场的作用也谈不上牛顿定律. 对应哈密顿函数 1、哈密顿正则方程 拉格朗日力学中 广义动量 以广义动量和广义坐标为独立变量，引入新的函数 哈密顿函数 满足 则有 哈密顿正则方程 哈密顿函数也是标量，正则方程的性质具有坐标变换不变性 正则方程是关于时间的一阶微分方程，表示正则变量随时间的演化规律，给出体系的运动规律 由正则方程更容易给出守恒量 相空间 刘维定理 一维弹簧振子 位形空间中的哈密顿原理： 做变换： 可得相空间中的哈密顿原理. 在相空间中，有 力学系统的始末位形是确定的，则 因此有 也就是 正则方程 如果函数? 是正则变量q, p 和时间的函数 则它对时间的导数为 其中[?, H]叫做泊松括号. 2、泊松括号和泊松定理 如果函数? 也是正则变量和时间的函数,泊松括号[?,?]定义为 泊松定理： 如果函数?, ? 都是相空间中的运动积分, 则它们的组合[?, ? ]也是相空间中的运动积分. 3、正则变换 拉格朗日方程、哈