东北大学线性代数第六章课后习题详解二次型.doc

教学基本要求： 1.掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型的秩的概念. 2.了解合同变换和合同矩阵的概念. 3.了解实二次型的标准形和规范形，掌握化二次型为标准形的方法. 4.了解惯性定理. 5.了解正定二次型、正定矩阵的概念及其判别方法. 第六章 二次型 本章所研究的二次型是一类函数，因为它可以用矩阵表示，且与对称矩阵一一对应，所以就通过研究对称矩阵来研究二次型. “研究”包括：二次型是“什么形状”的函数？如何通过研究对称矩阵来研究二次型？ 二次型是“什么形状”的函数涉及二次型的分类. 通过对称矩阵研究二次型将涉及矩阵的“合同变换”、二次型的“标准形”、通过正交变换化二次型为标准形、惯性定理、正定二次型等. 一、二次型与合同变换 1. 二次型 n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次函数 f(x1,x2,…,xn)=a11x12+a22x22+…+annxn2 +2a12x1x2+…+2a1nx1xn+…+…+2an-1 nxn-1xn (6.1) 称为一个n元二次型.当系数aij均为实数时，称为n元实二次型. (P131 定义6.1) 以下仅考虑n元实二次型. 设，那么 f(x1,x2,…,xn)=xTAx. (6.2) 式(6.2)称为n元二次型的矩阵表示. 例6.1(例6.1 P132) 二次型f与对称矩阵A一一对应，故称A是二次型f的矩阵，f是对称矩阵A的二次型，且称A的秩R(A)为二次型f的秩. (定义6.2 P132) 由于二次型与对称矩阵是一一对应的，所以从某种意义上讲，研究二次型就是研究对称矩阵. 定义6.2 仅含平方项的二次型 f(x1,x2,…,xn)=a11x12+a22x22+…+annxn2 (6.3) 称为标准形.系数a11,a22,…,ann仅取-1,0,1的标准形称为规范形. (定义6.3 P132) 标准形的矩阵是对角矩阵. 二次型有下面的结论： 定理6.1 线性变换下，二次型仍变为二次型.可逆线性变换下，二次型的秩不变. (定理6.1 P133) 这是因为 . 2. 合同变换 在可逆线性变换下，研究前后的二次型就是研究它们的矩阵的关系. 定义6.3 设A,B是同阶方阵，如果存在可逆矩阵C，使B=CTAC，则称A与B是合同的，或称矩阵B是A的合同矩阵.对A做运算CTAC称为对A进行合同变换，并称C是把A变为B的合同变换矩阵. (定义6.4 P133) 矩阵的合同关系具有反身性、对称性、传递性. 注意：(1)合同的矩阵(必须是方阵)必等价，但等价的矩阵(不一定是方阵)不一定合同. (P134) A与B合同 可逆矩阵C，B=CTAC A与B等价 可逆矩阵P,Q，B=PAQ (2)合同关系不一定是相似关系，但相似的实对称矩阵一定是合同关系. (推论1 P137) 正交矩阵Q，Q-1AQ= QTAQ=B A与B既相似又合同 合同变换的作用：对二次型施行可逆线性变换等价于对二次型的矩阵施行合同变换. 如果B是对角矩阵，则称f=yTBy是f=xTAx的标准形. 二、用正交变换化二次型为标准形 1. 原理 由第五章第三节知：对于实对称阵A，存在正交矩阵Q，使Q-1AQ为对角矩阵(对角线上的元素为A的n个特征值).因此，二次型f=xTAx经正交变换x=Qy就能化为标准形f=yT(QTAQ)y=yT(Q-1AQ)y. 定理6.2 任意实二次型都可经正交变换化为标准形，且标准形中的系数为二次型矩阵的全部特征值. (定理6.2 P134) 推论1 任意实对称矩阵都与对角矩阵合同. (推论1 P137) 推论2 任意实二次型都可经可逆线性变换化为规范形. (推论2 P137) 正交变换既是相似变换又是合同变换.相似变换保证矩阵有相同的特征值，化标准形则必须经合同变换.所以，正交变换是能把二次型化为“系数为特征值”的标准形的线性变换. 2.用正交变换化二次型为标准形的步骤 用正交变换化二次型f=xTAx为标准形的过程与将实对称阵A正交相似对角化的过程几乎一致.具体步骤如下： (1)求出A的全部互异特征值λ1,λ2…,λs； (2)求齐次线性方程组(λiE-A)x=ο(i=1,2,…,s)的基础解系(即求A的n个线性无关特征向量)； (3)将每一个基础解系分别正交化、规范化，得到n个正交规范的线性无关特征向量ε1,ε2,…,εn； (4)正交相似变换矩阵Q=(ε1,ε2,…,εn)，正交相似变换x=Qy把二次型f=xTAx变为标准形f=yT(QTAQ)y. 例6.2(例6.2 P134) 例6.3(例6.3 P135) 三、用配方法化二次型为标准 除了正交变换，事实上，还存在其它