第五节标准形第六节唯一性.ppt

* 第五节 标准形 一．二次型的标准形 二．化二次型为标准形的方法 * 一．二次型的标准形 只含平方项的二次型，称为标准形. 如 标准形的矩阵是一个对角阵，且主对角 定义： 说明: 元素是其平方项的系数。 * 数域P上任意一个二次型都可以经过 可逆线性替换化成标准形. 数域P上任意一个对称矩阵都合同于一 个对角阵． 定理： 推论： 问题：由定理可知，将一个二次型化为标准 形，关键是要找到可逆替换，如何找? 如果对称矩阵A合同于一个对角阵，则 称这个对角阵是A的合同标准形． 定义： * 二．化二次型为标准形的方法 ⑴ 二次型 含有变量的平方项 例1 用配方法化二次型 为标准形，并求出可逆线性替换． (P193---例6.5.1) 1．配方法 * 解： 用配方法把变量x1, x2, x3 逐个配成完全平方 的形式： * 则有 所作的可逆替换是 * 例2 用配方法化二次型 为标准形，并求出可逆替换． (P194---例6.5.2) 解： 为了能够配方, 首先要变成有平方项.为此令 ⑴ ⑵ 二次型不含变量的平方项 则 * (按例1的方法) * 则 ⑵ 为了写出所作可逆替换,先从⑵式解出 ⑶ 把⑶式带入⑴式得所作可逆替换: * 设 设存在初等矩阵P1, P2, …, Pt, 使得 则 2．初等变换法 经过可逆替换 X=CY 化成标准形YTDY,其中D是对角阵. 则 初等矩阵有三种类型 P(j,i(k)), P(i,j), P(i(c)), * 因此 即 它们的转置矩阵分别为 像这种初等行、列变换类型相同，称为成对初等行、列变换。 * 对于 即 同样地，对于 即 * 设 对A作成对的初等行列变换 对E 只作初等列变换 其中 D 是对角阵，即当A 变成对角阵时E就变成了可逆矩阵C. 且CT AC=D。 由以上讨论，我们得到求二次型标准形的另一种方法： * 例3 用初等变换法化二次型 (P196---例6.5.3) 为标准形，并求出可逆替换． 解： 的矩阵为 * * * * * 则可逆替换为 得 * 化成标准形 则 (1) 同一个二次型其标准形不唯一. (2)不同标准形中系数不为0的平方项的个数相同。 设二次型XTAX经过非退化线性替换X=CY 比较例2和例3的结果可看出： 因为同一个二次型, 用不同的线性替换, 可 以得到不同的标准形. * 系数不为0的平方项的个数r 等于它的矩阵 A 因此R(A)=r. 这表明二次型XTAX 的标准形中 的秩（即二次型的秩），因而是唯一的。 * 问题: 由例2和例3的结果可看出，同一个二次型 的标准形中系数不为0的平方项的个数相同，且 系数为正的平方项的个数也相同. 前者对于任意 数域P上的二次型都成立，后者是否也成立？ 我们将证明后者对于实数域上的二次型是 成立的。 * 第六节 唯一性 一. 实规范形 n元实二次型 XTAX 经过一个适当的可逆线性替换X=CY, 可以化成下述形式的标准形 d1y12 + d2y22 + … + dpyp2 – dp+1yp+12 - … -dr yr2（1） 其中di0(i=1,2, …,r);且r是这个二次型的秩，因为正实数总可以开平方，所以可以再作一个可逆线性替换： * 则二次型（1）可以变成如下形式的标准形 z12 + z22 + … + zp2 - zp+12 - … - zp+q2 称为XTAX的实规范形. 实规范型的特征： 只含平方项，且平方项的系数为1、-1 或0；系数为1的平方项都写在前面。 * 例1 用初等变换法化二次型 (P196---例6.5.3) 为规范形，并求出可逆替换． 解： 用初等变换法经可逆替换 * 得标准形 得规范形 再作线性替换 问题： 实二次型的规范形是不是唯一呢？ * 二. 唯一性的几个结论 惯性定理: 实二次型的规范形是唯一的. 定义: 实二次型 XTAX 的规范形中,正平方项的个数 p 称为XTAX的正惯性指数, 负平方项的个数 r-p 称为负惯性指数, 正、负惯性指数之差 2p-r 称为 XTAX 的符号差. 任意实规范形中系数不为0的平方项的个数等于二次型的秩，故实二次型的规范形被它的秩和正惯性指数决定。 注： * 实二次型 XTAX 的任一标准形中，系数为正的平方项个数是唯一确定的, 且等于XTAX的正惯性指数. 系数为负的平方项个数也唯一确定且等于 XTAX的负惯性指数． 推论1 任意一个实对称矩阵 A 都合同于一个主对角元只有1,-1,0的对角阵.其中1,-1的个数共有 R(A) 个，1的个数等于XTAX 的正惯性指数, -1