第四节二次型及其矩阵表示.ppt

* 第六章 二次型 第四节 二次型及其矩阵表示 第五节 标准型 第七节 正定二次型 第八节 正交替换化二次型为标准形 * 观察如下多项式： 共同点：多项式中每一项都是二次的。 我们把这样的多项式称为二次型。 一．二次型的概念 * n 个变量x1, x2, ?, xn 的二次齐次多项式 (其中所有系数aij 是数域P 中的数), 称为数域P上的一个n 元二次型，简称为二次型. 定义： ⑴ * ⑴ 若系数aij 是复数，则称 f (x1, x2, ?, xn ) 为复二次型. ⑵ 若系数aij 是实数，则称 f (x1, x2, ?, xn ) 为实二次型. 如： 是三元复二次型． 说明: 是二元实二次型． 不是二次型． * ⑴式也可以写成 令 二.二次型的矩阵形表示 * 称⑵式为二次型的矩阵形式． 则二次型可以写成： ⑵ 也称为对称矩阵A的二次型 . 对称矩阵A 的秩 称为二次型 f (x1, x2, ?, xn ) 的秩. 关系，称A为二次型 f (x1, x2, ?, xn ) 的矩阵, f A为对称矩阵, 且与二次型 f 有一一对应 说明: 注: 二次型的矩阵是唯一的：它的主对角元是 平方项的系数, 系数的一半。 * 如 则 * 例1： 写出二次型 的矩阵. 解： 二次型的矩阵为 * 例2： 设实对称阵 求A 对应的二次型. 解：因为A 是3阶方阵，所以二次型有3个变量， * 三．可逆线性替换与二次型 的线性替换为 ⑴ 定义: 设 * 则 即 ⒈ 若C 可逆，则称线性替换 ⑴为可逆线性替换 ⒉ 若矩阵C 是正交矩阵，则称⑴为正交线性替 换，简称为正交替换. (或非退化线性替换) ,简称为可逆替换. * 设二次型 为可逆替换，则有 ∵ A 是对称矩阵， 也是对称矩阵. 关 变 可逆线性替换将二次型变成二次型. 证： 定理: B是它的矩阵。且 * 例3 设二次型 及可逆替换 二次型 f 的矩阵为 可逆替换的矩阵为 解： * 为所求新二次型 . 设 * 四．矩阵的合同 设A , B 是两个n 阶方阵，如果存在可逆 矩阵C ，使得 则称 A 与B 是合同的． 易知, 若存在可逆替换把二次型XTAX 化成 二次型YTBY, 则A与B合同。 定义： 合同是矩阵间的一种等价关系，满足 说明: 反身性,对称性,传递性。 * 数域 P 上n 元二次型能不能经过可逆替换 化成只含平方项的二次型？ 而二次型只含平方 本问题也就是：数域 P 上的n阶对称矩阵能不 项当且仅当它的矩阵是对角阵，因此研究的基 能合同于一个对角阵？ 对于实数域上的n阶对称阵A,我们已经知 道:存在正交矩阵T使得 为对角阵, 本章研究的基本问题是： 即A合同于对角阵。 从而对于实数域上的 n 元二 次型 存在正交替换X=TY 把它化成只含平 方项的二次型，即 * 为A的全部特征值。 问题: 对于任意数域 P 上二次型及对称矩阵 A 是否也有类似的结论？ 即对于实数域上的二 替换化成只含平方项的二次型？ 次型，能不能不作正交替换，而作一般的可逆 * 小结 1. 二次型 2. 二次型的矩阵：二次型与对称矩阵一一对应 3.可逆线性替换与二次型：矩阵的合同 * 21．试证：若A 是n 阶方阵，n 是奇数，且满足 则 证： ∵ n 是奇数，故有 * 23． 设A为n 阶方阵， 数 解： * 45. 取何值时，方程组 无解，有唯一解或有无穷多解？并在有无穷 多解时求方程组的一般解。 解： 方程组的系数行列式为 * 当 即 时， 方程组有唯一解. 时， 则方程组无解. * 时， 方程组有无穷多解， 其一般解为 (x3 为自由未知量)