常见的二元泰勒公式.ppt

最小二乘法原理: 通过计算确定某些经验公式类型的方法: 例2. 在研究某单分子化学反应速度时, 得到下列数据: 因此 a , b 应满足方程组: * * 二元函数的泰勒公式 二元函数的泰勒公式 一元函数 的泰勒公式: 推广 多元函数泰勒公式 记号 (设下面涉及的偏导数连续): 一般地, 表示 表示 定理1. 的某一邻域内有直 到 n + 1 阶连续偏导数 , 为此邻域内任 一点, 则有 其中 ① ② ① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, ②称为其拉格 朗日型余项 . 证: 令 则 利用多元复合函数求导法则可得: 一般地, 由 的麦克劳林公式, 得 将前述导数公式代入即得二元函数泰勒公式. (1) 当 n = 0 时, 得二元函数的拉格朗日中值公式: (2) 若函数 在区域D 上的两个一阶偏导数 恒为零, 由中值公式可知在该区域上 说明: 例1. 求函数 解: 的带Peano型 余项的四阶泰勒公式. 例2. 求函数 解: 的三阶泰 勒公式. 因此, 其中 时, 具有极值 极值充分条件的证明 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A 0 时取极大值; A 0 时取极小值. 2) 当 3) 当 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 定理2 (充分条件) 证: 由二元函数的泰勒公式, 并注意 则有 所以 其中? , ? , ? 是当h →0 , k →0 时的无穷小量 , 于是 (1) 当 AC－B2 ＞0 时, 必有 A≠0 , 且 A 与C 同号, 可见 , 从而△z＞0 , 因此 从而 △z＜0, (2) 当 AC－B2 ＜0 时, 若A , C不全为零, 无妨设 A≠0, 则 时, 有 异号; 同号. 可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, + + － 若 A＝C ＝0 , 则必有 B≠0 , 不妨设 B＞0 , 此时 可见 △z 在 (x0 , y0) 邻近有正有负, (3) 当AC－B2 ＝0 时, 若 A≠0, 则 若 A＝0 , 则 B＝0 , 为零或非零 此时 因此 不能断定 (x0 , y0) 是否为极值点 . 问题的提出: 已知一组实验数据 求它们的近似函数关系 y＝f (x) . 需要解决两个问题: 1. 确定近似函数的类型 根据数据点的分布规律 根据问题的实际背景 2. 确定近似函数的标准 实验数据有误差, 不能要求 最小二乘法 偏差 有正有负, 值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小 为使所有偏差的绝对 来确定近似函数 f (x) . 设有一列实验数据 分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方 法称为最小二乘法, 找出的函数关系称为经验公式 . , 它们大体 特别, 当数据点分布近似一条直线时, 问题为确定 a, b 令 满足: 使 得 解此线性方程组 即得 a, b 观测数据: 用最小二乘法确定a, b 例1. 为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀 具的厚度, 得实验数据如下: 找出一个能使上述数据大体适合的经验公式. 解: 通过在坐标纸上描点可看出它们 大致在一条直线上, 列表计算: 故可设经验公式为 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 得方程组 解得 故所求经验公式为 0 0 27.0 0 7 49 24.8 137.6 28 140 208.5 717.0 为衡量上述经验公式的优劣, 计算各点偏差如下: 称为均方误差, 对本题均方误差 它在一定程度上反映了经验函数的好坏. 偏差平方和为 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8 0 1 2 3 4 5 6 7 27.125 26.518 25.911 25.303 26.821 26.214 25.607 2