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§8.1 空间解析几何简介 一、空间直角坐标系 二、空间两点间的距离 三、曲面与方程 * 上页 下页 铃 结束 返回 首页 一、空间直角坐标系 三、曲面与方程 二、空间两点间的距离 上页 下页 铃 结束 返回 首页 O 过空间一个定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以 O 为原点且一般具有相同的长度单位。它们的正向通常符合右手规则。这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系。 y轴(纵轴) z轴(竖轴) (坐标)原点 x轴(横轴) x 1 y 1 z 1 拇指方向 四指转向 右手规则 空间直角坐标系： 练习 下页 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面。 坐标面： O z y x xOy面 yOz 面 zOx面 下页 卦限： 三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。 O z y x 下页 卦限： 三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。 O z y x 第一卦限 第二卦限 第三卦限 第四卦限 下页 卦限： 三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。 O z y x 第五卦限 第六卦限 第七卦限 第八卦限 下页 练习 点的坐标： O x y z P R Q 设M为空间一点，过点M作三个平面，分别垂直于x轴、y轴和z轴，得到三个平面在x轴、y轴、z轴上的交点P、Q、R。 设OP=a、OQ=b、OR=c，则点M唯一确定了一个三元有序数组(a, b, c)。 反之，对任意一个三元有序数组(a, b, c)，也可以唯一地确定空间的一个点M。 M 三元有序数组(a, b, c)称为 点M的坐标，记为M(a, b, c)。 首页 练习 因为 |M1M2|2 =|M1Q|2+|M2Q|2 =|M1P|2+|PQ|2+|M2Q|2 ， M1 所以 |M1Q|=|z2?z1|。 | PQ |=|y2?y1|， 设M1(x1, y1, z1)、M2(x2, y2, z2)为空间两点，求两点间的距离d。 |M1P|=|x2?x1|， 作一个以 M1和 M2 为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面。 O x y z M2 x2 x1 y1 y2 P Q z1 z2 注意： 下页 二、空间两点间的距离 设M1(x1, y1, z1)、M2(x2, y2, z2)为空间两点，则两点间的距离为 特殊地，点M (x, y, z )与原点O(0, 0, 0)的距离为 下页 二、空间两点间的距离 设M1(x1, y1, z1)、M2(x2, y2, z2)为空间两点，则两点间的距离为 例1 求证以M1(4, 3, 1)、M2(7, 1, 2)、M3(5, 2, 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 所以| M2M3|?| M1M3|， | M1M3|2 | M2M3|2 解：因为 | M1M2|2 ?(7?4)2?(1?3)2?(2?1)2?14， ?(5?7)2?(2?1)2?(3?2)2?6， ?(5?4)2?(2?3)2?(3?1)2?6， 即DM1M2M3为等腰三角形。 下页 二、空间两点间的距离 设M1(x1, y1, z1)、M2(x2, y2, z2)为空间两点，则两点间的距离为 解：设所求的点为M(0, 0, z)，则有|MA| 2?|MB| 2， 例2 在 z 轴上求与两点 A(?4, 1, 7)和 B(3, 5, ?2)等距离的点。 即 (0?4)2?(0?1)2?(z?7)2?(3?0)2?(5?0)2?(?2?z)2。 首页 如果曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x, y, z)=0， 而不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x, y, z)=0，那么方程F(x, y, z)=0称为曲面S的方程，而曲面S称为方程F(x, y, z)=0的图形。 O x y z F(x，y，z )?0 M(x，y，z ) F(x，y，z )?0 M(x，y，z ) 下页 例3 一动点M(x, y, z)与二定点M1(1,-1,0)、M2(2,0,-2)的距离相等，求此动点M的轨迹方程。 解：依