数值计算方法-(精选·公开·课件).ppt

1.3.2、误差与有效数字 定义1.2 绝对误差限或误差限, 显然 有时也表示为 且 用绝对误差来刻画近似值的精确程度是有限的，因为它没有反映出它相对于精确值的大小或它占精确值的比例。例如 两个量与它们的近似值 分别为 则有误差限 虽然 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关外，还与精确值的大小有关，所以这是可以用相对误差来比较这两个近似数的准确度。 定义1.3 绝对误差和绝对误差限仅考虑了误差值本身的大小，没 有考虑准确值的大小。为了能较好地反映近似值的精确 程度，还应考虑准确值的大小。 绝对误差限 相对误差限 代替相对误差 代替相对误差限 往往未知 一个数的近似数往往是通过四舍五入的原则求得的，例如： 取以下近似数 可以发现每一个近似数的绝对误差限都不超过近似数末尾数的半个单位。如果一个近似数满足这个条件，就把这个近似数从末尾到第一位非零数字之间的所有数字叫做有效数字。 则分别得到这些近似数的绝对误差 为了给出近似数的表示方法，使之既能表示大小又能表 示精度，引进有效数字的概念。 定义1.5 设数 的近似值可以表示为 。如果其绝对误差限为 则称近似数 x 具有 n 位有效数字。 其中 m 是整数， 是0到9 中的一个数字，而且 定理1.1 证明 下面的结果论述了相对误差与有效数字的关系 * 吕同富 康兆敏 方秀男 清华大学出版社 在数学发展中，理论和计算是紧密联系的。现代计算机的出现为大规模的数值计算创造了条件，集中而系统的研究适用于计算机的数值方法变得十分迫切和必要。数值计算方法正是在大量的数值计算实践和理论分析工作的基础上发展起来的，它不仅仅是一些数值方法的简单积累，而且揭示了包含在多种多样的数值方法之间的相同的结构和统一的原理。数值算法是进行科学计算必不可缺少的起码常识；更为重要的是通过对它们的讨论，能够使人们掌握设计数值算法的基本方法和一般原理，为在计算机上解决科学计算问题打下基础。 科学素质：拓宽对21世纪科学的了解； 加深对数学思想的理解； 培养用数学思考世界的习惯数学能力：数学知识的运用能力； 对专业中问题建立数学求解方法与 实际计算能力 应用问题中数学创造性能力计算知识：常用算法的数学理论； 在“误差、存贮、速度”之下的实 际计算方法；  对结果的数值分析方法  数学分析(或微积分) 高等代数 数学软件 学习数值计算方法的准备知识 我们先来看看学过的一些知识和问题： 如果：三次方程呢？ n次方程呢？ 多项式次数一般超过5次，它的根一般已经不能用 公式表示 X=???? X=??? 非线性方程呢？ 问题二： ② ③ ① ② ③ ① ② ③ ① 方程的个数是3个 那如果是20个呢？ 用什么方法解？ 一般的呢？ 我们在数学分析中学过：用克莱姆法则能解决 理论上很“漂亮”的Cramer法则 在计算机上并不适用！ n=20 问题三 求A的特征值和特征向量 求A的特征值和特征向量? 美国的人口普查每10年举行一次，下表列出了从1940年到1990年的人口（按千人计） 249633 226542 203302 179323 151326 132165 人口（千人） 1990 1980 1970 1960 1950 1940 年 能否利用这些数据合理地估计人口的数量，比如1965年的人口，