离散数学课件09代数系统教学幻灯片.ppt

第9章 代数系统;1、近代代数学的进展;1、近代代数学的进展;1、近代代数学的进展;2、代数方程的可解性;2、代数方程的可解性;2、代数方程的可解性;2、代数方程的可解性;3、群的发现;3、群的发现;代数;高斯(联邦德国, 1955); 高斯和正十七边形 (民主德国, 1977);代数方程根式解; 1824年阿贝尔(挪, 1802-1829)定理;代数方程根式解;数学奖;数学奖;数学奖; 伽罗瓦(法,1811-1832) (法国, 1984);代数方程根式解; 1811，1831年高斯(德, 1777-1855)讨论了复数几何表示;1837年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)表示复数为有序实数对 1843年哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)定义了四元数; 哈密顿的四元数 (爱尔兰, 1983);1683年关孝和(日, 1642-1708，“算圣”)完成《解伏题之法》提出行列式理论和代数方程变换理论 1750年克莱姆(瑞, 1704-1752)法则 1772年范德蒙(法, 1735-1796)、拉普拉斯(法, 1749-1827)行列式展开定理 1841年凯莱(英, 1821-1895)行列式记号 1852年西尔维斯特(英, 1814-1897)惯性定理 1854年埃尔米特(法, 1822-1910)使用了正交矩阵 1858年凯莱证明了凯莱-哈密顿(爱尔兰, 1805-1865)定理 1870年若尔当(法, 1838-1921)建立了若尔当标准形 1879年弗罗贝尼斯(德, 1849-1917)引入矩阵的秩;凯莱;布尔代数;布尔代数;本章说明;9.1 二元运算及其性质 9.2 代数系统 9.3 代数系统的同态与同构 本章小结 作 业;9.1 二元运算及其性质;（1）自然数集合N上的加法和乘法是N上的二元运算，但减 法和除法不是。 （2）整数集合Z上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算 ，而除法不是。 （3）非零实数集R*上的乘法和除法都是R*上的二元运算，加 法、减法不是。 （4）设S＝{a1,a2,…,an}，ai?aj =ai为S上二元运算。;例9.1;一元运算;（4）在幂集P(S)上，如果规定全集为S，则求集合的绝对补 运算是P(S)上的一元运算。 （5）设S为集合，令A为S上所有双射函数的集合，A?SS， 求一个双射函数的反函数为A上的一元运算。 （6）在n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)上，求一个矩阵的转置 矩阵是Mn(R)上的一元运算。 ;可以用?、?、·、?、?、?等符号表示二元或一元运算，称为算符。 设f : S×S→S是S上的二元运算?，对任意的x, y∈S，??果x与y的运算结果为z，即f(x,y)＝z，可以利用算符?简记为 x?y = z。 对一元运算?，x的运算结果记作?x。 例题 设R为实数集合，如下定义R上的二元运算? ： ?x,y∈R，x ? y = x。 那么 3 ? 4 = 3，0.5 ?(?3) = 0.5。;函数的解析公式 运算表（表示有穷集上的一元和二元运算）;;例9.5 设S={1,2,3,4}，定义S上的二元运算?如下： x ? y＝(xy) mod 5， ?x,y∈S 求运算?的运算表。;定义9.3 设?为S上的二元运算，如果对于任意的x,y∈S都有x?y=y?x，则称运算?在S上满足交换律。 定义9.4 设?为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S都有 (x?y)?z=x?(y?z)，则称运算?在S上满足结合律。 说明：若+适合结合律，则有 (x+y)+(u+v)＝ x+y+u+v。 定义9.5 设?为S上的二元运算，如果对于任意的x∈S有x?x=x，则称运算?在S上满足幂等律。如果S中的某些x满足x?x=x，则称x为运算?的幂等元。 举例：普通的加法和乘法不适合幂等律。但0是加法的幂等元，0和1是乘法的幂等元。;例题;定义9.6 设?和?为S上两个二元运算，如果对于任意的x,y,z∈S，有 x?(y?z) ＝ (x?y) ?(x?z) （左分配律） (y?z)?x ＝ (y?x) ?(z?x) （右分配律） 则称运算?对运算?满足分配律。 说明：若*对?运算分配律成立，则*对?运算广义分配律也成立。 x?(y1? y2 ? …? yn ) ＝ (x?y1)?(x? y2)? … ? (x? yn) (y1? y2 ? …? yn )?x ＝ (y1?x) ?(y2?x) ? … ? (yn?x) 定义9.7 设?和?为S上两个可交换的二元运算，如果对于任意的x,y