从边界元法究亲身体验数值方法研究的一些误区_姚振汉.pdfVIP

北京力学会第23 届学术年会 2017 USTB 从边界元法研究亲身体验数值方法研究的一些误区 姚振汉 （清华大学航天航空学院工程力学系，100084 ） 摘要 作者基于 37年边界元法研究的亲身经历，体验到边界元法研究的最大误区是将自身的精 度验证依赖于和简单问题解析解或相应问题边界元解的比较，从而导致在工程应用中越来越被 边缘化。为了摆脱这种依赖，作者从误差分析出发，提出了一种新的高精度边界元法，并正在 引人快速算法发展新的高性能边界元法。作者还体验到，在数值方法研究中存在一个普遍的误 区，就是只通过少数简单的考题来验证方法的有效性、精度与效率，并对不同方法进行比较。 梁板壳的有限元分析通过了许多标准考题的验证，但是当最大应力出现在梁的端部或板壳边界 的情况下，所得的局部应力就是很不准确的。因此作者将真实梁板壳的局部应力分析作为高精 度与高性能边界元法的突破点来加以研究。本世纪以来快速算法的引入，使边界元法研究者看 到了边界元法用于复杂工程问题的广阔前景，但是很少注意到快速算法附加误差对结果可靠性 和精度的重要影响，这是研究中的又一个重要误区。只有克服了这个误区，才能使边界元法真 正成为有限元法不可或缺的重要补充。 关键词：边界元法，高精度边界元法，高性能边界元法，误差分析，真实梁板壳 一、引 言 作者 1979 年进入边界元法研究领域以来，亲身经历了它在深度广度上不断取得的进展 [1]，但在工程应用中却越来越被边缘化。探究其原因，边界元法文献中自身的精度验证总 是依赖于和简单问题解析解或相应问题边界元解的比较。于是，从工程应用来看，既然两者 结果吻合，当然用已经熟悉的有限元法就行了；即使从边界元法研究来说，虽然高精度是本 身固有的优势，但若对某种复杂问题没有可靠的有限元解来做比较，对自身结果也似乎缺乏 自信了。因此边界元法研究的第一个根本误区就是精度验证中对于有限元等其它方法的依赖。 为了摆脱这种依赖，作者从误差分析出发[2]，提出了一种新的高精度边界元法[3,4]，并正 在引人快速算法发展新的高性能边界元法。在数值方法研究、不仅仅是边界元法研究中，一 个普遍的误区是，只通过少数简单的考题来验证方法的有效性、精度与效率，并对不同方法 进行比较。这样的验证是不充分的，比较也是不全面的。梁板壳的有限元分析通过了许多标 准考题的验证，但是当最大应力出现在梁的端部，或板壳的边界的情况下，基于梁板壳理论 的局部应力分析结果都是不准确的，因为那里梁板壳的基本假设都不满足。为了得到可靠的 局部应力结果，应该建立真实梁板壳的计算模型，保持结构的端部或边界的实际几何和边界 条件，然后与相连的基础或相邻结构一起进行分析。这就是真实梁板壳的局部应力分析，也 是作者发展高精度与高性能边界元法时选定的突破点。上世纪末到本世纪初，随着快速算法 的引入使边界元法研究者看到了用于复杂工程问题的广阔前景，但是还很少注意到快速算法 附加误差对结果可靠性和精度的重要影响[5-7]。文献中通常看到的是成功案例，很少提供 失败的结果。这是研究中又一个重要的误区。只有克服了这个误区，才能使边界元法成功地 分析各种复杂的大规模工程实际问题，并真正成为有限元法不可或缺的重要补充。 第二节简述高精度、高性能边界元法的基础工程数值方法的误差分析与高精度分析 流程，并介绍数值分析中与此相关的一些误区。第三节给出几个仅用简单算例验证精度不可 靠、不全面的算例。第四节以一种真实悬臂薄板梁和悬臂薄板为例，显示梁板壳理论在局部 应力分析中的失效。第五节用几个简单算例来显示快速算法附加误差对结果可靠性和精度的 513 北京力学会第23 届学术年会 2017 USTB 影响。最后是简单的结束语。 二、工程数值方法的误差分析、高精度分析流程与相关误区 2.1 工程实际问题建模与求解过程中误差的引人与高精度数值方法的求解过程 图1 三类误差的引入和控制