第4章无穷级数3-7(函数项级数-幂级数收敛半径).pptVIP

中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组 高等数学A 4.3.1 函数项级数 4.3.2 幂级数及其收敛半径 4.3 幂级数 第4章 无穷级数 4.3 幂级数 4.3.1函数项级数 函数项级数的定义 收敛点与收敛域 和函数 4.3.2 幂级数及其收敛性 幂级数的定义 阿贝尔(Abel)定理 收敛半径与收敛域 标准幂级数收敛半径的求法 标准幂级数收敛域的求法习例1 一般幂级数收敛域的求法 一般幂级数收敛域的求法习例2-3 内容小结与思考 注解 演练例题 幂 级 数 一、函数项级数 1.定义 2.收敛点与收敛域 函数项级数的部分和 余项 (x在收敛域上) 注意: 3.和函数 (定义域是?) 函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题. 的收敛域. 例如, 等比级数 它的收敛域是 它的发散域是 或写作 又如, 级数 级数发散 ; 所以级数的收敛域仅为 有和函数 二、幂级数及其收敛性 1.定义 注1 因经变换后, 幂级数(1)与(2)可相互转化, 故下面主要讨论形式(1)的幂级数. 类似地，有幂级数的收敛域，和函数的定义。 例 1 解 2. 阿贝尔(Abel)定理 证 由结论(1), 注意: Abel定理对标准幂级数给出. 几何说明 收敛区域 发散区域 发散区域 推论 3. 收敛半径与收敛域、收敛区间 定义: 正数R称为幂级数的收敛半径. 幂级数的收敛区间 是开区间 规定 问题 如何求幂级数的收敛半径? 幂级数的收敛域包括幂级数的收敛区间及端点情况. 4. 标准幂级数收敛半径、收敛域的求法 定理2 证 则比值审敛法得： 1 定理证毕. 例 2 求下列幂级数的收敛半径和收敛域 标准幂级数收敛域的求法习例 解 收敛. 绝对收敛. 解 发散. 发散. 解 解 5. 一般幂级数收敛域的求法 方法 1. (2)由标准幂级数收敛域的求法可得： 方法 2. (用比值法讨论) 例 3 一般幂级数收敛域的求法习例 例 3 解 方法一 方法二 由比值法得， 注意: (3)求一般函数项级数的收敛域时, 可直接用比值法讨论.