《高中数学解三角形方法大全》.docVIP

PAGE 9 解三角形 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设的三个内角的对边分别为，则有以下关系成立： （1）边的关系：，，（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：，，，， ， ，， （3）边角关系：正弦定理、余弦定理以及它们的变形 板块一：正弦定理及其应用 1．正弦定理：，其中为的外接圆半径 2．正弦定理适用于两类解三角形问题： （1）已知三角形的任意两角和一边，先求第三个角，再根据正弦定理求出另外两边； （2）已知三角形的两边与其中一边所对的角，先求另一边所对的角（注意此角有两解、一解、无解 的可能），再计算第三角，最后根据正弦定理求出第三边 【例1】考查正弦定理的应用 （1）中，若，，，则_____； （2）中，若，，，则____； （3）中，若，，，则____； （4）中，若，则的最大值为_____。 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在中，已知、、 （1）若为钝角或直角，则当时，有唯一解；否则无解。 （2）若为锐角，则当时，三角形无解； 当时，三角形有唯一解； 当时，三角形有两解； 当时，三角形有唯一解 实际上在解这类三角形时，我们一般根据三角形中“大角对大边”理论判定三角形是否有两解的可能。 板块二：余弦定理及面积公式 1．余弦定理：在中，角的对边分别为，则有 余弦定理： ， 其变式为： 2．余弦定理及其变式可用来解决以下两类三角形问题： （1）已知三角形的两边及其夹角，先由余弦定理求出第三边，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； （2）已知三角形的三条边，先由余弦定理求出一个角，再由正弦定理求较短边所对的角（或由余弦定理求第二个角），最后根据“内角和定理”求得第三个角； 说明：为了减少运算量，能用正弦定理就尽量用正弦定理解决 3．三角形的面积公式 （1） （、、分别表示、、上的高）； （2） （3） （为外接圆半径） （4）； （5） 其中 （6）（是内切圆的半径，是三角形的周长） 【例】考查余弦定理的基本应用 （1）在中，若，，，求； （2）在中，若，，，求边上的高； （3）在中，若，，，求 【例】（1）在中，若，，，则中最大角的余弦值为________ （2）（10上海理）某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则（ ） A．不能作出这样的三角形 B．作出一个锐角三角形 C．作出一个直角三角形 D．作出一个钝角三角形 （3）以为三边组成一个锐角三角形，则的取值范围为__________ 【例】考查正余弦定理的灵活使用 （1）在中，若，其面积，则_____ （2）在中，若，则_____ （3）（07天津理）在中，若，，则_____ （4）（10江苏）在锐角中，若，则_________ 【例】判断满足下列条件的三角形形状 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）， 板块三：解三角形综合问题 【例】（09全国2） 在中，角的对边分别为、、，，，求 【例】（11西城一模）在中，角的对边分别为，且， （1）当时，求角的度数； （2）求面积的最大值 【例】在中，，，，求的值和的面积 【例】在中，角的对边分别为，已知， （1）若的面积等于，求； （2）若，求的面积 【例5】（09江西理）在中，角的对边分别为，且， （1）求 （2）若，求 【例】（09安徽理）在中，, （1）求的值； （2）设，求的面积 【例】（10辽宁理）在中，角的对边分别为， 且 （1）求的大小； （2）求的最大值 【例】在中，角的对边分别为，， （1）求的大小； （2）求的范围 【例】（11全国2）设的内角的对边分别为，已知， ，求 【江西理】在中，角的对边分别是，已知 （1）求的值； （2）若，求边的值 【11江西文】在中，角的对边分别是，已知 （1）求的值； （2）若，，求边的值