等差数列与-等比数列的判断与-证明(以及构造数列~)-2018年度高考-数学备考之百强校大题狂练.docVIP

高考资源网（ ），您身边的高考专家 | 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 高考资源网（ ），您身边的高考专家 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 2018届高考数学大题狂练 数列 专题02 等差数列与等比数列的判断与证明（以及构造数列） 一、解答题 1．已知数列是等差数列，其首项为，且公差为，若． （）求证：数列是等比数列． （）设，求数列的前项和． 【答案】（1）见解析；（2） ∴， ∴， ∴， 又， ∴数列是首项为4，公比为4的等比数列． （）解：由（1）知， ∴ ． 2．设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意正整数n，点(an＋1，Sn)在直线2x＋y－2＝0上. (1)求数列{an}的通项公式； (2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）λ＝2 求出λ＝2,经检验λ＝2时,此数列的通项公式是关于n的一次函数,故满足数列为等差数列,从而得出结论. 试题解析：　(1)由题意，可得2an＋1＋Sn－2＝0.① 当n≥2时，2an＋Sn－1－2＝0.② ①－②，得2an＋1－2an＋an＝0，所以＝ (n≥2). 因为a1＝1，2a2＋a1＝2，所以a2＝. 所以{an}是首项为1，公比为的等比数列. 所以数列{an}的通项公式为an＝. (2)由(1)知，Sn＝＝2－. 若为等差数列，则S1＋λ＋，S2＋2λ＋，S3＋3λ＋成等差数列，则2＝S1＋＋S3＋，即2＝1＋＋＋， 解得λ＝2.又λ＝2时，Sn＋2n＋＝2n＋2， 显然{2n＋2}成等差数列，故存在实数λ＝2， 使得数列{Sn＋λn＋}成等差数列. 3．已知数列的前项和（为正整数）． （1）求证：为等差数列； （2）求数列的前项和公式． 【答案】(1)见解析(2) 【解析】【试题分析】(I)利用,可求得,即证明了数列为等差数列.(II)由(I)求得的表达式,并利用错位相减求和法求其前项和. 所以是以为首项，为公差的等差数列 （方法二）当时，解得 ，设，则， 当时，有 代入得 整理得 所以即是以为首项，为公差的等差数列 （2）由（1）得， 依题意① 上式两边同乘以，得② ①-②得， 所以 4．设为数列的前项和，已知，. （1）证明：为等比数列； （2）求. 【答案】(1)见解析；（2）. （1）证明：∵，，∴， ∴，∴， 则， ∴是首项为2，公比为2的等比数列. （2）解：由（1）知，，则. ∴ . 5．已知数列的前项和为,满足 (),数列满足 (),且 （1）证明数列为等差数列,并求数列和的通项公式; （2）若,求数列的前项和; （3）若,数列的前项和为,对任意的,都有,求实数的取值范围. 【答案】（1）， ；（2）；（3） 代入可求。 试题解析：（1）由两边同除以， 得， 从而数列为首项，公差的等差数列，所以， 数列的通项公式为． 当时， ，所以． 当时， ， ， 两式相减得，又，所以， 从而数列为首项，公比的等比数列， 从而数列的通项公式为． (2) = （3）由（1）得， ， 所以，两式相减得 因为 ，从而数列为递增数列 所以当时， 取最小值，于是． 6．已知等差数列{an}中，公差d0，其前n项和为Sn，且满足：a2a3＝45，a1＋a4＝14. (1)求数列{an}的通项公式； (2)通过公式bn＝构造一个新的数列{bn}．若{bn}也是等差数列，求非零常数c； (3)对于(2)中得到的数列{bn}，求f(n)＝ (n∈N*)的最大值． 【答案】(1)an＝4n－3．(2) ． 【解析】试题分析： ，故可根据基本不等式求最值． 试题解析： (1)∵数列{an}是等差数列． ∴a2＋a3＝a1＋a4＝14， 由，解得或． ∵公差d0， ∴a2＝5，a3＝9． ∴d＝a3－a2＝4，a1＝a2－d＝1． ∴． (2)∵Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋2n(n－1)＝2n2－n， ∴． ∵数列{bn}是等差数列， ∴2b2＝b1＋b3， ∴2·＝＋， 解得 (c＝0舍去)． ∴． 显然{bn}成等差数列，符合题意， ∴． (3)由（2）可得 ，当且仅当，即时等号成立． ∴f(n)的最大值为．