等比数列知识点总结与典型例题+答案整理版.doc

等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义：，称为公比 2、通项公式： ，首项：；公比： 推广： 3、等比中项： （1）如果成等比数列，那么叫做与的等差中项，即：或 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ （2）数列是等比数列 4、等比数列的前项和公式： （1）当时， （2）当时， （为常数） 5、等比数列的判定方法： （1）用定义：对任意的，都有为等比数列 （2）等比中项：为等比数列 （3）通项公式：为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若或为等比数列 7、等比数列的性质： （2）对任何，在等比数列中，有。 （3）若，则。特别的，当时，得 注： 等差和等比数列比较： 等差数列 等比数列 定义 递推公式 ； ； 通项公式 （） 中项 （） （） 前项和 重要 性质 经典例题透析 类型一：等比数列的通项公式 例1．等比数列中，, ,求. 思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于和的二元方程组，解出和，可得；或注意到下标，可以利用性质可求出、，再求. 总结升华： ①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量； ②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）. 举一反三： 【变式1】{an}为等比数列，a1=3，a9=768，求a6。 【变式2】{an}为等比数列，an＞0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。 【变式3】已知等比数列，若，，求。 类型二：等比数列的前n项和公式 例2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+S6=2S9，求数列的公比q. 举一反三： 【变式1】求等比数列的前6项和。 【变式2】已知：{an}为等比数列，a1a2a3=27，S3=13，求S5. 【变式3】在等比数列中，，，，求和。 类型三：等比数列的性质 例3. 等比数列中，若,求. 举一反三： 【变式1】正项等比数列中，若a1·a100=100; 则lga1+lga2+……+lga100=_____________. 【变式2】在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________。 类型四：等比数列前n项和公式的性质 例4．在等比数列中，已知，，求。 思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列。 举一反三： 【变式1】等比数列中，公比q=2, S4=1,则S8=___________. 【变式2】已知等比数列的前n项和为Sn, 且S10=10, S20=40,求：S30=？ 【变式3】等比数列的项都是正数，若Sn=80, S2n=6560，前n项中最大的一项为54，求n. 【变式4】等比数列中，若a1+a2=324, a3+a4=36, 则a5+a6=_____________. 【变式5】等比数列中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。 类型五：等差等比数列的综合应用 例5．已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列.求原来的三个数. 思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式. 总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d, a, a+d；若三数成等比数列，可设此三数为，x, xy。但还要就问题而言，这里解法二中采用首项a，公比q来解决问题反而简便。 举一反三： 【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列. 【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。 【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求这四个数. 类型六：等比数列的判断与证明 例6．已知数列{an}的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(n∈N+),求出数列{an}的通项公式，并判断{an}是何种数列？ 思路点拨：由数列{an}的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断{an}类型. 举一反三： 【变式1】已知数列{Cn}，其中Cn=2n+3n，且数列{Cn+1-pCn}为等比数列，求常数p。 【答案】p=2或p=3； 【证明】设数列{an}、{bn}的公比分别为p, q，且p≠q 【变式3】判断正误： (1){an}为等比数列a7=