线性代数自考知识点汇总整理版.doc

行列式 行列式的性质 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号. 推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零. 如 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k乘此行列式. 如 推论2　如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零． 如 性质4　若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和. 如 性质5　把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变. 如 余子式与代数余子式 在n阶行列式中，把元素所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素的余子式，记作，叫做元素的代数余子式． 如，元素的余子式为， 元素的代数余子式为. 行列式按行（列）展开法则 定理1 行列式的值等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 或 如 定理2 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即 或 行列式的计算 （1）二阶行列式 （2）三阶行列式 （3）对角行列式， （4）三角行列式 （5）消元法：利用行列式的性质，将行列式化成三角行列式，从而求出行列式的值. （6）降阶法：利用行列式的性质，化某行（列）只有一个非零元素，再按该行（列）展开，通过降低行列式的阶数求出行列式的值. （7）加边法：行列式每行（列）所有元素的和相等，将各行（列）元素加到第一列（行），再提出公因式，进而求出行列式的值. 矩阵 常见矩阵 1）对角矩阵：主对角线以外的元素全为0的方阵，称为对角矩阵.记作Λ. 2）单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵，称为单位矩阵.记作E. 3）上三角矩阵：对角线以下的元素全为0的方阵.如 4）下三角矩阵：对角线以上的元素全为0的方阵.如 5）对称矩阵：设A为ｎ阶方阵，若，即，则称A为对称矩阵. 6）反对称矩阵：设A为ｎ阶方阵，若，即 ，则称A为反对称矩阵. 7）正交矩阵：设A为ｎ阶方阵，如果或，则称A为正交矩阵. 矩阵的加法、数乘、乘法运算 （1）矩阵的加法 如 注：① 只有同型矩阵才能进行加减运算； ② 矩阵相加减就是对应元素相加减. （2）数乘矩阵 如 注：数乘矩阵就是数乘矩阵中的每个元素. （3）矩阵的乘法：设，规定 其中 注：①左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数； ②左矩阵A 的第i行与右矩阵B的第j列对应元素乘积的和是矩阵乘积C的元素. ③左矩阵A的行数为乘积C的行数，右矩阵B的列数为乘积C的列数. 如行矩阵乘列矩阵是一阶方阵（即一个数），即 列矩阵乘行矩阵是s阶方阵，即 逆矩阵 设n阶方阵A、B，若AB=E或BA=E，则A，B都可逆，且. （1）二阶方阵求逆，设 ，则（两调一除法）. （2）对角矩阵的逆， . （3）分块对角阵的逆 . （4）一般矩阵求逆，初等行变换的方法：. 方阵的行列式 由ｎ阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A的行列式.记作或det（A）. 矩阵的初等变换 下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换： （1）互换两行（列）；（2）数乘某行（列）；（3）某行（列）的倍数加到另一行（列）. 初等矩阵 单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵. 如都是初等矩阵. 矩阵的秩 矩阵A的非零子式的最高阶数，称为矩阵A的秩.记作R（A）或r（A）. 求矩阵的秩的方法： （1）定义法：找出A中最高阶的非零子式， 它的阶数即为A的秩. （2）初等行变换法：行阶梯形矩阵，R（A）=R（行阶梯形矩阵）=非零行的行数. 重要公式及结论 （1）矩阵运算的公式及结论 矩阵乘法不满足交换律，即一般地AB≠AB; 矩阵乘法不满足消去律，即一般地若AB=AC，无B=C；只有当A可逆时，有B=C. 一般地若AB=O，则无A=O或B=O. . （2）逆矩阵的公式及定理 A可逆|A|≠0A～E（即A与单位矩阵E等价） （3）矩阵秩的公式及结论 R( AB ) ≤R( A ), R( AB ) ≤R( B ). 特别地，当A可逆时，R(AB)=R(B)；当B可逆时，R(AB)=R(A). 即等价矩阵的秩相等或初等变换不改变矩阵的秩. 矩阵方程 （1）设 A 为n阶可逆矩阵，B为n×m矩阵，则矩阵方程AX=B 的解为； 解法：① 求出，再计算； ② . （2）设 A 为n阶可逆矩阵，B为m×n矩阵，则矩阵方程XA=B 的解为； 解法：① 求出，再计算； ② . 矩阵间的关系 （1）等价矩阵：如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，那么称矩阵A与B等价. 即存在可逆矩阵P，Q，使