立体几何专题有答案整理版.doc

立体几何答案 翰林学校 宗克志 26.【2012高考辽宁理18】(本小题满分12分) 如图，直三棱柱，， 点M，N分别为和的中点。 (Ⅰ)证明：∥平面; (Ⅱ)若二面角为直二面角，求的值。 【命题意图】本题主要考查线面平行的判定、二面角的计算，考查空间想象能力、运算求解能力，是容易题. 【解析】（1）连结，由已知 三棱柱为直三棱柱， 所以为中点.又因为为中点 所以，又平面 平面，因此 ……6分 （2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴建立直角坐标系，如图所示 设则， 于是， 所以，设是平面的法向量， 由得，可取 设是平面的法向量， 由得，可取 因为为直二面角，所以，解得……12分 【点评】本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定，借助空间直角坐标系求平面的法向量的方法，并利用法向量判定平面的垂直关系，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明。 27.【2012高考湖北理19】（本小题满分12分） 如图1，，，过动点A作，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿将△折起，使（如图2所示）． （Ⅰ）当的长为多少时，三棱锥的体积最大； （Ⅱ）当三棱锥的体积最大时，设点，分别为棱，的中点，试在 棱上确定一点，使得，并求与平面所成角的大小． D D A B C A C D B 图2 图1 M E . · 第19题图 【答案】（Ⅰ）解法1：在如图1所示的△中，设，则． 由，知，△为等腰直角三角形，所以. 由折起前知，折起后（如图2），，，且， 所以平面．又，所以．于是 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故当，即时, 三棱锥的体积最大． 解法2： 同解法1，得． 令，由，且，解得． 当时，；当时，． 所以当时，取得最大值． 故当时, 三棱锥的体积最大． （Ⅱ）解法1：以为原点，建立如图a所示的空间直角坐标系． 由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，． 于是可得，，，，，， 且． 设，则. 因为等价于，即 ，故，. 所以当（即是的靠近点的一个四等分点）时，． 设平面的一个法向量为，由 及， 得 可取． 设与平面所成角的大小为，则由，，可得 ，即． C C A D B 图a E M x y z 图b C A D B E F M N 图c B D P C F N E B G M N E H 图d 第19题解答图 N 故与平面所成角的大小为 解法2：由（Ⅰ）知，当三棱锥的体积最大时，，． 如图b，取的中点，连结，，，则∥. 由（Ⅰ）知平面，所以平面. 如图c，延长至P点使得，连，，则四边形为正方形， 所以. 取的中点，连结，又为的中点，则∥， 所以. 因为平面，又面，所以. 又，所以面. 又面，所以. 因为当且仅当，而点F是唯一的，所以点是唯一的. 即当（即是的靠近点的一个四等分点），． 连接，，由计算得， 所以△与△是两个共底边的全等的等腰三角形， 如图d所示，取的中点，连接，， 则平面．在平面中，过点作于， 则平面．故是与平面所成的角． 在△中，易得，所以△是正三角形， 故，即与平面所成角的大小为 31.【2012高考福建理18】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点. （Ⅰ）求证：B1E⊥AD1； （Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由. （Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小为30°，求AB的长. 【答案】本题主要考查立体几何中直线与直线、直线与平面的位置关系及二面角的概念与求法等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、基本运算能力，以及函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想. 解答： （Ⅰ）长方体中， 得：面 面 （Ⅱ）取的中点为，中点为，连接 在中，面 此时 （Ⅲ）设，连接，过点作于点，连接 面， 得：是二面角的平面角 在中， 在矩形中， 得： 32.【2012高考北京理16】（本小题共14分） 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A