高考-数学专栏《数列》-超经典.docVIP

PAGE \* MERGEFORMAT 2 | 高考复习序列 高中数学 数列  一、数列的通项公式与前n项的和的关系 ① （注：该公式对任意数列都适用） ② （注：该公式对任意数列都适用） ③ （注：该公式对任意数列都适用） = 4 \* GB3 ④sn+1-sn-1=a 二、等差与等比数列的基本知识 1、等差数列 通项公式与公差： 定义式： 一般式： 推广形式： ； ； = 2 \* GB2 ⑵ 前项和与通项的关系： 前n项和公式：. 前n项和公式的一般式： 应用：若已知，即可判断为某个等差数列的前n项和，并可求出首项及公差的值。 与的关系：（注：该公式对任意数列都适用） 例：等差数列， （直接利用通项公式作差求解） ⑶ 常用性质： ①若m+n=p+q ，则有 ；特别地：若的等差中项，则有2n、m、p成等差数列； ②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如，）仍是等差数列； ③为公差为d等差数列，为其前n项和，则，，．．．也成等差数列, 构成的新数列公差为D=m2d，即m2d=(S2m-Sm)- Sm； 对于任意已知Sm，Sn，等差数列 公差，即也构成一个公差为等差数列。 = 6 \* GB3 ⑥若项数为偶数，设共有项，则①偶奇； ② ； = 7 \* GB3 ⑦若项数为奇数，设共有项，则①奇偶；②。 例：已知等差数列，其中 解析：法一，用等差数列求和公式 求出 法二，，成等差数列，设公差为D，则： 法三, 63. 等比数列的通项公式： ⑴ ①一般形式：； ②推广形式：， ③其前n项的和公式为：，或. ⑵数列为等比数列 ⑶ 常用性质： 若m+n=p+q ，则有 ；特别地：若的等比中项，则有 n、m、p成等比数列; 等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如，）仍是等比数列； ③为等比数列，为其前n项和，则，，．．．也成等比数列（仅当当或者且不是偶数时候成立）； 设等比数列的前项积为，则，，成等比数列． = 4 \* GB3 ④ 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. = 5 \* GB3 ⑤ 既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列. 判断或证明一个数列是等差数列的方法： = 1 \* GB3 ①定义法： 是等差数列 = 2 \* GB3 ②中项法： 是等差数列 = 3 \* GB3 ③一般通项公式法： 是等差数列 = 4 \* GB3 ④一般前项和公式法： 是等差数列 判断或证明一个数列是等差数列的方法： （1）定义法：为等比数列； （2）中项法：为等比数列； （3）通项公式法：为等比数列； （4）前项和法：为等比数列。 为等比数列。 数列最值的求解 （1），时，有最大值；，时，有最小值； （2）最值的求法：①若已知，的最值可求二次函数的最值； 可用二次函数最值的求法（）；②或者求出中的正、负分界项，即： 若已知，则最值时的值（）可如下确定或。 例1：等差数列中，，则前 项的和最大。 【解析】： 例2．设等差数列的前项和为，已知 = 1 \* GB3 ①求出公差的范围， = 2 \* GB3 ②指出中哪一个值最大，并说明理由。 【解析】： = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② 由，可知，n=12是前n项和正负分界项， 故所以，最大 变式：若等差数列的首项为为31，从第16项开始小于1 ，则此数列公差d的取值范围是 解析：，但要注意此时还要一个隐含条件，联立不等式组求解。 3、若数列的前n项和，则 ，数值最小项是第 项。 【解析】：法一（导数法）： 根据等差数列前n项和的标准形式，可知该数列为等差数列， 令,取得最小值， 其中，可见当n=3时取得最小。 法二（列举法）：对于可用列举法，分别求出n=1、2…时的的值，再进行比较发现。 4、已知数列， 【解析】：法一（均值不等式）：由累加法：，令 法二（列举法）：实在没招时使用该法。 5、 已知等差数列的前n项和 。 【解析】： 6、 数列通项公式的求法： 类型1：等差数列型 思路：把原递推式转化为，再使用累加法（逐差相加法）求解。 例，已知数列满足，求数列的通项公式。 解：由得则 所以数列的通项公式为 变式： 已知数列满足，，求数列的通项公式。 解： 两边除以，得，则，此时，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为 评注：本题前的系数不一致，不能直接使用前述方法，解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的