初中数学共圆问题考点与-常考难题和培优提高练习学习压轴题(含解析~).docVIP

PAGE PAGE 2 初中数学共圆问题提高练习与常考难题和培优题压轴题(含解析) 问题探究： 一个班级的学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字型排开，这样的队形对每个人公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？怎样排？ 四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具，四点共圆这类问题一般有以下两种形式： 证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆； 通过某四点共圆得到一些重要结论，进而解决问题 下面给出与四点共圆有关的一些基本知识 若干个点与某定点的距离相等，则这些点在一个圆上； 在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆； 若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，则这四点共圆； 若点在线段的同侧，且，则四点共圆； 若线段交于点，且，则四点共圆； 若相交线段上各有一点，且，则四点共圆。 四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题，而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介。 1．如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（　　） A．cm B．5cm C．6cm D．10cm 　 2．正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定　　个不同的圆． 3．如图，若AD、BE为△ABC的两条角平分线，I为内心，若C，D，I，E四点共圆，且DE=1，则ID=　　． 4．如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠A，∠B的角平分线，O是AD与BE的交点，若C，D，O，E四点共圆，DE=3，则△ODE的内切圆半径为　　． 　 5．如图，已知A，B，C，D四点共圆，且AC=BC．求证：DC平分∠BDE． 6．如图，BD，AH分别是△ABC的高，求证：A、B、H、D四点共圆． 7．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，求证：A，B，C，D四个顶点共圆． 8．如图，四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，点E为AC的中点，则A，B，C，D四点共圆吗？ 9．如图所示，I为△ABC的内心，求证：△BIC的外心O与A、B、C四点共圆． 10．如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．求证：B、E、F、C四点共圆． 11．O和H分别是△ABC的外心和垂心，若∠BAC=60°，求证：B、0、H、C的共圆． 12．如图，AB为⊙O直径，BF⊥AB，E为BF上一点，AE和AF交⊙O于C和D，求证：C、D、F、E四点共圆． 13．如图，在△ABC中，AB=AC，延长CA到P，延长AB到Q，使AP=BQ，求证：△ABC的外心O与A，P，Q四点共圆． 14．如图，点F是△ABC外接圆的中点，点D、E在边AC上，使得AD=AB，BE=EC．证明：B、E、D、F四点共圆． 15．如图，点E，F分别在线段AC，BC上运动（不与端点重合），而且CE=BF，O是△ABC的外心，证明C，E，O，F四点共圆． 16．设△ADE内接于圆O，弦BC分别交AD、AE边于点F、G，且AB=AC，求证：F、D、E、G四点共圆． 参考答案 1．（2016?常州）如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（　　） A．cm B．5cm C．6cm D．10cm 【解答】解：如图，连接MN，∵∠O=90°，∴MN是直径，又OM=8cm，ON=6cm， ∴MN===10（cm）．∴该圆玻璃镜的半径是：MN=5cm．故选：B． 2．（2006?黄石）正方形的四个顶点和它的中心共5个点能确定　5　个不同的圆． 【解答】解：正方形的四个顶点和它的中心的点的距离相等，中心与一边的两个端点可以确定一个圆，正方形有四条边，因而有四个圆；而正方形的四个顶点都在以中心为圆心的圆上，因而能确定5个不同的圆． 3．如图，若AD、BE为△ABC的两条角平分线，I为内心，若C，D，I，E四点共圆，且DE=1，则ID=　　． 【解答】解：连接CI，∵AD、BE为△ABC的两条角平分线， ∴∠BAI=∠BAC，∠IBA=∠ABC，∵∠AIB=180°﹣∠BAI﹣∠IBA， ∴∠AIB=180°﹣（∠CAB+∠CBA），又∵∠ABC+∠CBA+∠ACB=180°， ∴∠AIB=90°+∠C，∵C，D，I，E四点共圆，∴∠EID+∠ACB=180°， 又∵∠AIB=∠EID，∴90°+∠C+∠C=180°，∴∠ACB=60°， ∵I为内心，∴∠ICD=30°，∵DE=1，∴=2R， ∴R=，∴，∴ID=，故答案为：． 4．（2005?温州校级自主招生）如图，在△ABC中，AD，BE分别