《线性代数》同济大学版课后练习题答案详解.doc

PAGE \* MERGEFORMAT 37 《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1); 解 =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)? 解 =acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc =3abc-a3-b3-c3 (3); 解 =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2- ?(a-b)(b-c)(c-a). (4). 解 =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-x3 =3xy(x+y)-y3-3x2 y-x3-y3-x3 =-2(x3+y3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n-1) 2 4 × × × (2n); 解 逆序数为: 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) × × × × × × (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1个) (6)1 3 × × × (2n-1) (2n) (2n-2) × × × 2. 解 逆序数为n(n-1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) × × × × × × (2n-1)2, (2n-1)4, (2n-1)6, × × ×, (2n-1)(2n-2) (n-1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个) × × × × × × (2n)2, (2n)4, (2n)6, × × ×, (2n)(2n-2) (n-1个) 3. 写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解 含因子a11a23 (?1)ta11a23a3ra 其中rs是2和4构成的排列? 这种排列共有两个? 即24和42? 所以含因子a11a23 (?1)ta11a23a32a44?(?1)1 (?1)ta11a23a34a42?(?1) 4. 计算下列各行列式: (1); 解 . (2); 解 . (3); 解 ? (4). 解 ?abcd+ab+cd+ad+1. 5. 证明: (1)=(a-b)3; 证明 =(a-b)3 . (2); 证明 . (3); 证明 (c4-c3, c3-c2, c (c4-c3, c3-c . (4) =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d); 证明 =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d). (5)=xn+a1xn-1+ × × × +an-1x+an . 证明 用数学归纳法证明? 当n=2时, ,