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丰富多彩的有理数竞赛题 PAGE 26 丰富多彩的有理数竞赛题 现以2000年、2001年第十二届，第十三届“五羊杯”（广东省数学会举办）初中数学竞赛试题的有理数竞赛题为例，介绍有关解题方法。 例1 8 642 097 531、6 420 875 319、4 208 653 197、2 086 431 975、864 219 753的平均数是（）。 （A）4 444 455 555 （B）5 555 544 444 （C）4 999 999 995 （D）5 999 999 994 解 注意已知五个数的特点：右起1至5位每位数字之和为1+3+5+7+9=25，6至10位每位数字之和为0+2+4+6+8=20，于是五个数的平均数为4 444 455 555。选A。 例2 已知 68 9□□□20 312≈690亿（四舍五入），那么其中三位数□□□有（）种填写的方法。 （A）1 000 （B）999 （C）500 （D）499 解 可填500，501，502，…，999，共500种填法。选C。 例3 不超过700π（π是圆周率）的最大整数是（）。 （A）2 100 （B）2 198 （C）2 199 （D）2 200 解 ∵3.141 5π3.141 6，故2 199.05700π2 199.12。所以应选C。 例4 （0.1+1.2+2.3+3.4+4.5+5.6+6.7+7.8+8.9） ÷（0.01+0.03+0.05+0.0二次根式 【内容综述】 　　一般地，式子叫做二次根式。在解决有关根式的化简与求值问题时，需要同学们熟练地掌握根式的性质、运算法则等知识。另外，特别要掌握好如下的二个重要性质： 　　（1）。 　　（2） 【要点讲解】 　　在这一部分中，通过例题的解答，介绍有关二次根式的化简、求值、分母有理化等方面的知识，同学们要认真体会其中的解题方法和技巧。 　　★★例1、化简. 　　思路 通过分类讨论去掉根号。 　　解原式 　　　　　 　　　　　 　　例2、化简 　　思路 用待定系数法把11-6表示成一个完全平方式。 　　解 设11-6 （ 　　则 　　所以 　　解得或 　　 　　说明 本题还可用配方法来化简，请读者自己来试一试。 　　★★★例3、 分母有理化 。 　　 ★★★例4 化简 　　思路 对分子进行重新的分解组合，使之与分母有公共的因式。 　　解法1 原式= 　　　　　　　＝ 　　　　　　　 　　解法2 原式 　　　　　　　 说明 对于这种分式型的根式问题的化简，常用的思路就是对于分子进行巧妙地分解、组合，使之出现分母中的形式，达到化简的目的。 　　★★★例5 若。 思路 先化简已知条件的复合二次根式，和所求化数式，然后再求值。 　　 　　 说明 本题通过变形已知条件得到，然后利用这个条件进行整体代换，大大简化了运算过程。这种解题策略在条件求值问题中经常运用。 　　 　　★★★例6 设的整数部分为a，小数部分为b，求a-b（2b+1）的值。 　　 　★★★★例7 化简 　　 　　 　　由 　　当时, 　　 　　 　　当n-2（除n= -2,因它使分母为零）时, 　　 　　= -, 　　, ∴ 　　 　 　= 　　 = 　　 　　★★★★例8 设 　　且 , 　　求的值。 　　解： 设显然k≠0，则 　　 　　由已知得 　　 　　即 　　 　　 　　∴ 　　由已知得 　　∴ 说明：当题目中的变量较多时，常常引入一个参数，使得每个变量都用这个参数表示出来，这样便于化简。 ★★★★例9 设。则与S最接近的整数是多少？ 思路：所求式的各项的特征都相同，故可先研究每项的一般形式的结构，即所谓“通项的结构”。 　　解：当n为整数时，有 　　 　　 　　　　　　　　　　　= 　　　　　　　　　　　= 　　　　　　　　　　　= 　　 　　∴ 　 　　 　　　 　　故与X最接近的整数是1999。 　　说明：如果所求式子各项的特征相同时，一般要先研究清楚通项的特点，然后再具体到每一项，这是从一般到特殊的思维方法。 强化训练 A级 　　★★1、___________ 　　★★★2、若则_____________ 　　★★★3、若0a1, 则可化简为_________ 　　★★★4、设，求的值。 B级 　　★★★5、若[a]表示实数a的整数部分，则= 　　 　　★★★6、分母有理化，___________ 　　★★★7、自然数满足。则 _________ 　　★★★8、已知化简 参考答案 A 级 　　1、-2 　　提示：原式= 　　 　　　　 = 　　2、7 　　提示： 　　∴ 　　∴ 　　3、 　　提示：原式= 　　，∴ ，∴ 原式= 　　4、1152